Determine
onde:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a derivada de
em relação a
, onde
. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo, especificamente derivadas de funções logarítmicas e compostas. Para resolver isso, vamos precisar utilizar as regras de derivação para logaritmos e funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a derivação. Sabemos que:
Então, podemos reescrever
como:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos trazer o expoente
para frente:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. A derivada de
em relação a
é:
Onde
é o logaritmo natural.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia, onde
, temos:
Passo 6
A derivada de
em relação a
é 1. Então, simplificando:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Determine
onde:
Determine
onde:
A superfície de um lago é representada por uma região
em um plano xy de modo que a profundidade sob o ponto correspondente a (
) é dada por
onde
, y e
são expressos em metros. Se um esquiador aquático está na água no ponto ( 4,9 ) ache a taxa instantânea na qual a profundidade varia na direção do eixo
e na direção do eixo
.
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir: