A superfície de um lago é representada por uma região em um plano xy de modo que a profundidade sob o ponto correspondente a ( ) é dada por onde , y e são expressos em metros. Se um esquiador aquático está na água no ponto ( 4,9 ) ache a taxa instantânea na qual a profundidade varia na direção do eixo e na direção do eixo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a profundidade de um lago representada pela função . A gente precisa descobrir como a profundidade está mudando nas direções dos eixos e no ponto específico . Para resolver isso, vamos usar derivadas parciais, que mostram como uma função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que a gente denota por . Isso nos mostra como a profundidade muda se a gente movimentar somente na direção do eixo .
A função é:
Derivando em relação a :
Isso porque a derivada de em relação a é , e os outros termos são constantes em relação a .
Passo 3
Agora, vamos calcular essa derivada no ponto :
Isso significa que, na direção do eixo , a profundidade está diminuindo a uma taxa de 16 metros por metro.
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , denotada por . Isso mostra como a profundidade muda se a gente movimentar somente na direção do eixo .
Derivando a função em relação a :
Aqui, a derivada de em relação a é , e os outros termos são constantes em relação a .
Passo 5
Vamos calcular essa derivada no ponto :
Então, na direção do eixo , a profundidade está diminuindo a uma taxa de 54 metros por metro.
Resposta
No ponto , a profundidade está diminuindo a uma taxa instantânea de na direção do eixo e de na direção do eixo .