A superfície de um lago é representada por uma região D em um plano xy de modo que a profundidade sob o ponto correspondente a ( x, y ) é dada por f(x, y) = 300 - 2*x^2 - 3*y^2 onde x, y e f(x, y) são expressos em metros. Se um esquiador aquático está na água no ponto ( 4,9 ) ache a taxa instantânea na qual a profundidade varia na direção do eixo x e na direção do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a profundidade de um lago representada pela função . A gente precisa descobrir como a profundidade está mudando nas direções dos eixos e no ponto específico . Para resolver isso, vamos usar derivadas parciais, que mostram como uma função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que a gente denota por . Isso nos mostra como a profundidade muda se a gente movimentar somente na direção do eixo .
A função é:
Derivando em relação a :
Isso porque a derivada de em relação a é , e os outros termos são constantes em relação a .

Passo 3

Agora, vamos calcular essa derivada no ponto :
Isso significa que, na direção do eixo , a profundidade está diminuindo a uma taxa de 16 metros por metro.

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , denotada por . Isso mostra como a profundidade muda se a gente movimentar somente na direção do eixo .
Derivando a função em relação a :
Aqui, a derivada de em relação a é , e os outros termos são constantes em relação a .

Passo 5

Vamos calcular essa derivada no ponto :
Então, na direção do eixo , a profundidade está diminuindo a uma taxa de 54 metros por metro.

Resposta

No ponto , a profundidade está diminuindo a uma taxa instantânea de na direção do eixo e de na direção do eixo .

Exercícios relacionados

Determine d/y d/x onde: y = log10(raiz(x + 1))
Determine d/y d/x onde: y = ln(10 / x)
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
f(x, y) = 3x - 6y
Determine d/y d/x onde: y = log10(e^x)