Determine
onde:
Passo 1
Beleza, a gente precisa encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Estamos trabalhando com diferenciação, especificamente usando diferenciação logarítmica, que é útil quando temos uma função onde a variável está tanto na base quanto no expoente. Vamos precisar lembrar das regras de derivação de funções exponenciais e logaritmos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para facilitar a diferenciação. Assim:
Passo 3
Agora, usamos a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente:
Passo 4
Em seguida, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que
é função de
, usamos a regra da cadeia no lado esquerdo:
Passo 5
No lado direito, aplicamos a regra do produto para derivar
:
Passo 6
Agora, derivamos
. Usamos a regra da cadeia novamente:
Passo 7
Substituímos de volta na equação:
Passo 8
Finalmente, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
E lembrando que
, podemos substituir de volta:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: