Determine d/y d/x onde: y = (sen(x))^x, 0 < x < pi / 2

Passo 1

Beleza, a gente precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Estamos trabalhando com diferenciação, especificamente usando diferenciação logarítmica, que é útil quando temos uma função onde a variável está tanto na base quanto no expoente. Vamos precisar lembrar das regras de derivação de funções exponenciais e logaritmos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para facilitar a diferenciação. Assim:

Passo 3

Agora, usamos a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente:

Passo 4

Em seguida, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que é função de , usamos a regra da cadeia no lado esquerdo:

Passo 5

No lado direito, aplicamos a regra do produto para derivar :

Passo 6

Agora, derivamos . Usamos a regra da cadeia novamente:

Passo 7

Substituímos de volta na equação:

Passo 8

Finalmente, multiplicamos ambos os lados por para isolar :
E lembrando que , podemos substituir de volta:

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados