Resolva as integrais de funções trigonométricas:
(h)
7
Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
(a)
(h)
7
Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
(a)
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Para isso, vamos usar a técnica de substituição trigonométrica. Essa técnica é útil quando a integral envolve expressões que se assemelham a identidades trigonométricas. Precisamos lembrar das identidades trigonométricas básicas e como fazer substituições para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, fazemos uma substituição trigonométrica adequada. Observamos que
sugere o uso do seno, já que
. Então, vamos definir:
Isso implica que:
Passo 3
Substituímos
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 4
Simplificamos a expressão
usando a identidade trigonométrica:
Então, a integral se torna:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 5
Agora, precisamos voltar à variável original
. Lembramos que:
Desenhamos um triângulo retângulo onde o lado oposto a
é
e a hipotenusa é
. Assim, o lado adjacente é
.
Então:
E:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão integrada:
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Resolva as integrais de funções irracionais:
(f)
(f)
Use integração por partes para resolver as integrais abaixo:
(i)
(i)
Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
Determine
onde: