Resolva as integrais de funções trigonométricas:
(h) integral tg^3 x d x
7
Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
(a) integral raiza^2-x^2x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Para isso, vamos usar a técnica de substituição trigonométrica. Essa técnica é útil quando a integral envolve expressões que se assemelham a identidades trigonométricas. Precisamos lembrar das identidades trigonométricas básicas e como fazer substituições para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, fazemos uma substituição trigonométrica adequada. Observamos que x = a sintheta sugere o uso do seno, já que dx = a costheta , dtheta . Então, vamos definir:
Isso implica que:

Passo 3

Substituímos integral raiza^2 - a^2sin^2thetaa^2sin^2theta cdot a costheta , dtheta e raiza^2(1 - sin^2theta) = acostheta na integral original:
integral acosthetaa^2sin^2theta cdot a costheta , dtheta = integral a^2cos^2thetaa^2sin^2theta , dtheta = integral cos^2thetasin^2theta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 4

Simplificamos a expressão cos^2thetasin^2theta = cot^2theta usando a identidade trigonométrica:
integral cot^2theta , dtheta
Então, a integral se torna:
cot^2theta = csc^2theta - 1
Sabemos que:
integral cot^2theta , dtheta = integral (csc^2theta - 1) , dtheta = -cottheta - theta + C
Portanto:

Passo 5

Agora, precisamos voltar à variável original x = a sintheta Rightarrow sintheta = xa . Lembramos que:
cottheta = costhetasintheta = raiza^2 - x^2x
Desenhamos um triângulo retângulo onde o lado oposto a theta = arcsin(xa) é e a hipotenusa é . Assim, o lado adjacente é .
Então:
E:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão integrada:
-cottheta - theta + C = -raiza^2 - x^2x - arcsin(xa) + C

Resposta

A integral -raiza^2 - x^2x - arcsin(xa) + C é igual a:

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