Determine d/y d/x usando a regra da cadeia, se:
b) y = arccos(t), t = ln²(w) e w = x^3

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica de cálculo utilizada quando uma função depende de outra função, que por sua vez depende de uma terceira. Aqui, temos:
Vamos precisar conhecer as derivadas das funções arccos, logaritmo e potência para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Sabemos que a derivada de é:

Passo 3

Em seguida, vamos calcular a derivada de em relação a , . Como , podemos reescrever isso como . Usando a regra do poder e a regra da cadeia, temos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a , . Como , a derivada é:

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, que nos diz que , substituímos as derivações que encontramos:

Passo 6

Agora, substituímos e na expressão acima:

Passo 7

Substituindo novamente :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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