Determine: dd x integralx^0 e^-t^2 d t.
Pelo TFC, integralx^0 e^-t^2 d t=G(0)-G(x), em que G^prime(u)=e^-u^2. Assim,
dd x integralx^0 e^-t^2 d t=dd x(G(0)-G(x))=0-G^prime(x)=-e^-x^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a derivada em relação a da integral definida de até da função . Isso está dentro do estudo de cálculo, mais especificamente de derivadas envolvendo integrais. Para resolver isso, vamos precisar utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Ele basicamente conecta derivadas e integrais, permitindo que a gente calcule a derivada de uma integral com limites variáveis. No nosso caso, a integral é de até , então os limites dependem de .

Passo 3

Vamos chamar a integral de F(x) = integralx^0 e^-t^2 , dt , ou seja:
Segundo o TFC, a derivada de em relação a é dada pela função dentro da integral avaliada nos limites multiplicada pelas derivadas desses limites. Mas atenção: como o limite inferior é e o superior é , precisamos considerar os sinais.

Passo 4

Aplicando o TFC, temos:
dFdx = e^-0^2 cdot 0' - e^-x^2 cdot 1 = 0 - e^-x^2 = -e^-x^2
Aqui, é a derivada de que é , e a derivada de é . Por isso, o termo com desaparece.

Resposta

A derivada é .

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