Determine: integral0^1 x e^-pi x d x
Por partes,
&l f=x, g^prime=e^-pi x f^prime=1, g=-1pi e^-pi x & integral0^1 x e^-pi x d x=-integral0^1(-1pi e^-pi x) d x-1pi[x e^-pi x]0^1 &=1pi integral0^1 e^-pi x d x-1pi e^-pi &=-1pi^2[e^-pi x]0^1-1pi e^-pi &=-1pi^2(e^-pi-1)-1pi e^-pi &=-e^-pi(1+pi)+1pi^2
1,0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o integral . Esse exercício é sobre integração por partes, uma técnica que usamos quando temos o produto de duas funções que são mais fáceis de integrar separadamente. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da nossa integral vão ser e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Precisamos escolher u = x dv = e^-pi x , dx e du = ddx(x) , dx = 1 , dx de forma que, ao derivar v = integral e^-pi x , dx = -1pi e^-pi x e integrar , simplifique nosso cálculo. No nosso caso, vamos escolher:
Agora, vamos calcular e :

Passo 3

Com essas partes definidas, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral0^1 x e^-pi x , dx = u , v |0^1 - integral0^1 v , du
Substituindo = x ( -1pi e^-pi x ) |0^1 - integral0^1 ( -1pi e^-pi x ) (1) , dx , e :

Passo 4

Vamos simplificar cada parte. Primeiro, a avaliação dos limites:
-1pi x e^-pi x |0^1 = -1pi (1) e^-pi (1) + 1pi (0) e^-pi (0) = -e^-pipi
Agora, a integral restante:
- 1pi integral0^1 e^-pi x , dx
Vamos integrar integral e^-pi x , dx = -1pi e^-pi x + C :
- 1pi [ -1pi e^-pi x ]0^1 = 1pi^2 ( e^-pi - 1 )
Aplicando os limites:

Passo 5

Agora, juntando todas as partes:
-e^-pipi + 1pi^2 (e^-pi - 1) = -e^-pi pi + e^-pi - 1pi^2 = -e^-pi(1 + pi) + 1pi^2

Resposta

integral0^1 x e^-pi x , dx = 1 - e^-pi(1 + pi)pi^2

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