Determine: integral0^-1 f(x) d x, sabendo que integral0^3 f(x) d x=1 e que integral-1^3 2 f(x) d x=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor de integral0^-1 f(x) dx. A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, e vamos precisar usar propriedades das integrais e um pouquinho de álgebra para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de cima para baixo é igual ao negativo da integral de baixo para cima. Ou seja:
integral0^-1 f(x) dx = -integral-1^0 f(x) dx
Isso vai nos ajudar a trabalhar com os limites na ordem que a gente está acostumado.

Passo 3

Agora, vamos usar as informações que o exercício nos deu. Sabemos que:
integral0^3 f(x) dx = 1
E também que:
integral-1^3 2 f(x) dx = 2
Vamos simplificar a segunda equação dividindo ambos os lados por 2:
integral-1^3 f(x) dx = 1

Passo 4

Vamos decompor a integral de -1 a 3 em duas partes: de -1 a 0 e de 0 a 3. Assim:
integral-1^3 f(x) dx = integral-1^0 f(x) dx + integral0^3 f(x) dx
Sabemos que integral0^3 f(x) dx = 1, então substituindo:
1 = integral-1^0 f(x) dx + 1

Passo 5

Agora, vamos isolar a integral que queremos encontrar:
integral-1^0 f(x) dx = 1 - 1 = 0

Passo 6

Lembrando do que fizemos no Passo 2:
integral0^-1 f(x) dx = -integral-1^0 f(x) dx = -0 = 0

Resposta

O valor de integral0^-1 f(x) dx é 0.

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