Determine: integral sen^7 x d x
integral sen ^7 x d x & =integral sen ^6 x cdot sen x d x & =integral(1-cos ^2 x)^3 cdot sen x d x & =-integral(1-u^2)^3 d u (u=cos x, d u=-sen x d x) & =integral(u^2-1)^3 d u & =integral u^6-3 u^4+3 u^2-1 d u & =17 u^7-35 u^5+u^3-u+C & =17 cos ^7 x-35 cos ^5 x+cos ^3 x-cos x+C

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente lidando com potências de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão de uma forma que facilite a substituição. Podemos separar um fator de e deixar o resto com potências pares:
Isso é útil porque potências pares de seno podem ser convertidas em funções de cosseno, o que simplifica a integral.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que . Então, podemos reescrever como :
Substituindo isso na integral, temos:

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja du = -sen x , dx Rightarrow -du = sen x , dx . Então, a derivada de integral (1 - u^2)^3 cdot (-du) = -integral (1 - u^2)^3 , du em relação a -integral (1 - u^2)^3 , du = integral (u^2 - 1)^3 , du é:
Substituindo na integral:
Podemos simplificar a integral removendo o sinal negativo:

Passo 5

Vamos expandir (u^2 - 1)^3 = u^6 - 3u^4 + 3u^2 - 1 para facilitar a integração:
integral (u^6 - 3u^4 + 3u^2 - 1) , du
Agora, a integral fica:

Passo 6

Integramos cada termo separadamente:
integral u^6 , du = u^77, integral -3u^4 , du = -3u^55, integral 3u^2 , du = u^3, integral -1 , du = -u
Juntando tudo:
u^77 - 3u^55 + u^3 - u + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos cos^7 x7 - 3cos^5 x5 + cos^3 x - cos x + C de volta por :

Resposta

A integral de é:
17 cos^7 x - 35 cos^5 x + cos^3 x - cos x + C

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