Determine:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente lidando com potências de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão de uma forma que facilite a substituição. Podemos separar um fator de e deixar o resto com potências pares:
Isso é útil porque potências pares de seno podem ser convertidas em funções de cosseno, o que simplifica a integral.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que . Então, podemos reescrever como :
Substituindo isso na integral, temos:

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja . Então, a derivada de em relação a é:
Substituindo na integral:
Podemos simplificar a integral removendo o sinal negativo:

Passo 5

Vamos expandir para facilitar a integração:
Agora, a integral fica:

Passo 6

Integramos cada termo separadamente:
Juntando tudo:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos de volta por :

Resposta

A integral de é:

Exercícios relacionados

Determine: .
Pelo TFC, , em que . Assim,
Determine: , sabendo que e que
Determine:
Por partes,
1,0
Esboce a região delimitada pelas curvas . Expresse, por meio de integrais, o volume do sólido obtido pela rotação de em torno da reta indicada: eixo