Beleza, vamos lá! A gente tem que achar um valor de que, para qualquer , garante que se , então . A função aqui é e sabemos que . Vamos usar o conceito de limite para descobrir esse .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa. Aqui, , então queremos que:
Vamos simplificar essa expressão para facilitar.
Passo 3
Simplificando a expressão:
Agora, percebemos que o numerador pode ser fatorado:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora temos que . Isso é ótimo porque já temos , que é exatamente o que está na definição.
Mas precisamos garantir que o denominador não seja zero, ou seja, . Para isso, vamos escolher um intervalo onde . Assim, não ultrapassará esse valor e evitaremos divisão por zero.
Passo 5
Então, para garantir que e , vamos escolher como o menor valor entre e 1. Ou seja:
Isso assegura que ambas as condições sejam satisfeitas.
Resposta
Portanto, podemos escolher para garantir que, sempre que , teremos .