Beleza, vamos lá! A gente tem que achar um valor de que, para qualquer , garante que se , então . A função aqui é e sabemos que . Vamos usar o conceito de limite para descobrir esse .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa. Aqui, , então queremos que:
Agora, percebemos que o numerador pode ser fatorado:
x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2
Então, a expressão fica:
| (x + 2)^2x + 2 | = |x + 2|
Passo 4
Agora temos que . Isso é ótimo porque já temos , que é exatamente o que está na definição.
Mas precisamos garantir que o denominador não seja zero, ou seja, . Para isso, vamos escolher um intervalo onde . Assim, não ultrapassará esse valor e evitaremos divisão por zero.
Passo 5
Então, para garantir que de e , vamos escolher como o menor valor entre e 1. Ou seja:
Isso assegura que ambas as condições sejam satisfeitas.
Resposta
Portanto, podemos escolher para garantir que, sempre que , teremos .