Determine um de0 para epsilon>0, tal que
se 0<|x-x0|â
Para cada funçào f(x) sào dados
lim x x0 f(x)=L
lim x -2 x^2-4x+2=-4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que achar um valor de que, para qualquer , garante que se , então . A função aqui é e sabemos que . Vamos usar o conceito de limite para descobrir esse .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que | x^2 - 4x + 2 - (-4) | < epsilon significa. Aqui, , então queremos que:
Vamos simplificar essa expressão para facilitar.

Passo 3

Simplificando a expressão:
| x^2 - 4x + 2 + 4 | = | x^2 - 4 + 4(x + 2)x + 2 | = | x^2 - 4 + 4x + 8x + 2 | = | x^2 + 4x + 4x + 2 |
Agora, percebemos que o numerador pode ser fatorado:
x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2
Então, a expressão fica:
| (x + 2)^2x + 2 | = |x + 2|

Passo 4

Agora temos que . Isso é ótimo porque já temos , que é exatamente o que está na definição.
Mas precisamos garantir que o denominador não seja zero, ou seja, . Para isso, vamos escolher um intervalo onde . Assim, não ultrapassará esse valor e evitaremos divisão por zero.

Passo 5

Então, para garantir que de e , vamos escolher como o menor valor entre e 1. Ou seja:
Isso assegura que ambas as condições sejam satisfeitas.

Resposta

Portanto, podemos escolher para garantir que, sempre que , teremos .

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