Use a derivação implícita para determinar
nos exercícios abaixo:
(j)
(j)
Passo 1
Estamos lidando com a equação
e precisamos encontrar
usando derivação implícita. Para isso, vamos aplicar as regras de derivação de funções compostas e produtos, já que y está definida de forma implícita em função de x.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então sempre que derivarmos termos com y, precisamos usar a regra da cadeia.
Diferenciando o lado esquerdo:
Passo 3
Para diferenciar
, usamos a regra do produto, onde temos duas funções multiplicando:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de u e v separadamente.
Primeiro, para
:
Agora, para
, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na regra do produto:
Simplificando:
Passo 6
Agora, diferenciamos o lado direito da equação
:
Passo 7
Igualamos as derivadas dos dois lados:
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 8
Para isolar
, vamos trazer todos os termos com
para um lado:
Dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica
:
Resposta
A derivada
é:
Exercícios relacionados
Determine o conjunto solução das equações trigonométricas no intervalo
.
Determine um
para
, tal que
Para cada funçào
sào dados
Calcule
e cotgx, sendo dado
,
.
Determine o coeficiente angular da reta tangente à
no ponto (1,4). Em que ponto dessa curva a reta tangente é paralela ao eixo
?