Determine um
para
, tal que
Para cada funçào
sào dados
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar um valor de
para um
dado, de modo que se
, então
. Aqui, a função é
, e sabemos que
. Vamos usar a definição de limite, que é a base desse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Substituindo
:
Passo 3
Agora, queremos que
. Para facilitar, vamos fatorar a expressão:
Então,
Passo 4
Vamos analisar
. Podemos fatorar essa expressão:
Assim,
Passo 5
Substituindo de volta na expressão original:
Queremos que isso seja menor que
. Para controlar essa expressão, vamos supor que
. Isso nos ajuda a limitar o intervalo de
.
Passo 6
Se
, então
está entre 0 e 2:
Assim,
e
.
Passo 7
Voltando à nossa expressão:
Queremos que isso seja menor que
, então:
Passo 8
Agora, para garantir que
e
, escolhemos
como o mínimo desses dois valores:
Resposta
Portanto, para todo
, podemos escolher
para garantir que, se
, então
.
Exercícios relacionados
Determine o coeficiente angular da reta tangente à
no ponto (1,4). Em que ponto dessa curva a reta tangente é paralela ao eixo
?
Calcule
e cotgx, sendo dado
,
.
Sabendo que sen
, com
, calcule:
Mostre que
é denso em
se, e somente se,
.