Determine um para , tal que
â
Para cada funçào sào dados

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar um valor de para um dado, de modo que se , então . Aqui, a função é , e sabemos que . Vamos usar a definição de limite, que é a base desse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Substituindo :

Passo 3

Agora, queremos que . Para facilitar, vamos fatorar a expressão:
Então,

Passo 4

Vamos analisar . Podemos fatorar essa expressão:
Assim,

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original:
Queremos que isso seja menor que . Para controlar essa expressão, vamos supor que . Isso nos ajuda a limitar o intervalo de .

Passo 6

Se , então está entre 0 e 2:
Assim, e .

Passo 7

Voltando à nossa expressão:
Queremos que isso seja menor que , então:

Passo 8

Agora, para garantir que e , escolhemos como o mínimo desses dois valores:

Resposta

Portanto, para todo , podemos escolher para garantir que, se , então .

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Sabendo que sen , com , calcule:
Mostre que é denso em se, e somente se, .