Determine um de0 para epsilon>0, tal que
se 0<|x-x0|â
Para cada funçào f(x) sào dados
lim x x0 f(x)=L
lim x 1(2 x^3-3 x^2+x-3)=-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar um valor de para um dado, de modo que se , então . Aqui, a função é , e sabemos que . Vamos usar a definição de limite, que é a base desse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão |f(x) + 3| = |2x^3 - 3x^2 + x - 3 + 3| = |2x^3 - 3x^2 + x| . Substituindo :

Passo 3

Agora, queremos que 2x^3 - 3x^2 + x = x(2x^2 - 3x + 1) . Para facilitar, vamos fatorar a expressão:
|2x^3 - 3x^2 + x| = |x||2x^2 - 3x + 1|
Então,

Passo 4

Vamos analisar 2x^2 - 3x + 1 = (2x - 1)(x - 1) . Podemos fatorar essa expressão:
|2x^2 - 3x + 1| = |2x - 1||x - 1|
Assim,

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original:
|2x^3 - 3x^2 + x| = |x||2x - 1||x - 1|
Queremos que isso seja menor que . Para controlar essa expressão, vamos supor que . Isso nos ajuda a limitar o intervalo de .

Passo 6

Se 0 < x < 2 , então está entre 0 e 2:
Assim, e .

Passo 7

Voltando à nossa expressão:
|x||2x - 1||x - 1| < 2 cdot 5 cdot |x - 1| = 10|x - 1|
Queremos que isso seja menor que 10|x - 1| < epsilon implies |x - 1| < epsilon10 , então:

Passo 8

Agora, para garantir que de e , escolhemos como o mínimo desses dois valores:

Resposta

Portanto, para todo , podemos escolher para garantir que, se , então .

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