Determine um de0 para epsilon>0, tal que
se 0<|x-x0|â
Para cada funçào f(x) sào dados
lim x x0 f(x)=L
lim x 4 4 x^2-4 x-32 x+1=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar um valor de para um dado de forma que, sempre que , a diferença seja menor que . Aqui, a função é , o ponto é 4, e o limite é 5. Vamos usar a definição de limite para encontrar esse .

Passo 2

Primeiro, vamos colocar na nossa cabeça o que queremos: queremos que |4x^2 - 4x - 32x + 1 - 5| < epsilon sempre que . Então, vamos começar substituindo na desigualdade:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do módulo para facilitar:
|4x^2 - 4x - 3 - 5(2x + 1)2x + 1| < epsilon
Multiplicando o 5:
|4x^2 - 4x - 3 - 10x - 52x + 1| < epsilon

Passo 4

Agora, vamos combinar os termos semelhantes no numerador:
|4x^2 - 14x - 82x + 1| < epsilon

Passo 5

Para facilitar a análise, vamos fatorar o numerador:
4x^2 - 14x - 8 = 2(2x^2 - 7x - 4) = 2(2x + 1)(x - 4)
Então, temos:
|2(2x + 1)(x - 4)2x + 1| < epsilon

Passo 6

Simplificando a expressão, cancelando o termo |2(x - 4)| < epsilon que está no numerador e denominador:
2|x - 4| < epsilon
Isso se simplifica para:

Passo 7

Agora, queremos isolar |x - 4| < epsilon2 . Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 8

Então, se escolhemos , garantimos que sempre que , teremos .

Resposta

Escolher satisfaz a condição desejada.

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