Se todos os pontos do conjunto infinito são isolados, mostre que é enumerável.

Passo 1

Vamos lá! Temos um conjunto infinito onde todos os seus pontos são isolados. Nosso objetivo é mostrar que esse conjunto é enumerável, ou seja, que podemos listar todos os seus elementos em uma sequência como . Para resolver isso, vamos usar conceitos de topologia e teoria dos conjuntos, especialmente focando no que significa um ponto ser isolado e como isso nos ajuda a listar os elementos de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um ponto ser isolado. Na topologia, um ponto de um conjunto é isolado se existe um conjunto aberto (uma “vizinhança”) que contém apenas esse ponto e nenhum outro de . Formalmente, existe um conjunto aberto tal que .

Passo 3

Como todos os pontos de são isolados, para cada ponto , podemos associar um conjunto aberto que contém apenas . Isso significa que não há pontos “perto” de dentro de , tornando cada ponto claramente separado dos demais.

Passo 4

Agora, vamos construir uma sequência enumerável dos elementos de . Como é infinito e cada ponto é isolado, podemos listar os pontos um por um sem que nenhum caiba “no meio” de outro. Começamos escolhendo um ponto , depois um ponto que não está na vizinhança de , e assim por diante.

Passo 5

Para garantir que todos os pontos de sejam incluídos na nossa sequência, usamos a propriedade de que cada contém apenas . Assim, cada vez que escolhemos um novo ponto , sabemos que ele não foi listado anteriormente, já que sua vizinhança não contém outros pontos já listados.

Passo 6

Finalmente, como conseguimos listar todos os pontos de em uma sequência infinita , isso significa que é enumerável. Ou seja, há uma correspondência bijetiva entre os números naturais e os elementos de .

Resposta

Portanto, mostramos que o conjunto infinito , onde todos os pontos são isolados, é enumerável.

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Determine e .