Se todos os pontos do conjunto infinito
são isolados, mostre que
é enumerável.
Passo 1
Vamos lá! Temos um conjunto infinito
onde todos os seus pontos são isolados. Nosso objetivo é mostrar que esse conjunto
é enumerável, ou seja, que podemos listar todos os seus elementos em uma sequência como
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de topologia e teoria dos conjuntos, especialmente focando no que significa um ponto ser isolado e como isso nos ajuda a listar os elementos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um ponto ser isolado. Na topologia, um ponto
de um conjunto
é isolado se existe um conjunto aberto (uma “vizinhança”) que contém apenas esse ponto e nenhum outro de
. Formalmente, existe um conjunto aberto
tal que
.
Passo 3
Como todos os pontos de
são isolados, para cada ponto
, podemos associar um conjunto aberto
que contém apenas
. Isso significa que não há pontos “perto” de
dentro de
, tornando cada ponto claramente separado dos demais.
Passo 4
Agora, vamos construir uma sequência enumerável dos elementos de
. Como
é infinito e cada ponto é isolado, podemos listar os pontos um por um sem que nenhum caiba “no meio” de outro. Começamos escolhendo um ponto
, depois um ponto
que não está na vizinhança de
, e assim por diante.
Passo 5
Para garantir que todos os pontos de
sejam incluídos na nossa sequência, usamos a propriedade de que cada
contém apenas
. Assim, cada vez que escolhemos um novo ponto
, sabemos que ele não foi listado anteriormente, já que sua vizinhança não contém outros pontos já listados.
Passo 6
Finalmente, como conseguimos listar todos os pontos de
em uma sequência infinita
, isso significa que
é enumerável. Ou seja, há uma correspondência bijetiva entre os números naturais
e os elementos de
.
Resposta
Portanto, mostramos que o conjunto infinito
, onde todos os pontos são isolados, é enumerável.
Exercícios relacionados
Simplifique as expressões:
.
Sabendo que sen
e que
é um ângulo do
quadrante, calcule:
e secx
Determine um
para
, tal que
Para cada funçào
sào dados
Determine
e
.