Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e sabemos que o limite dela quando se aproxima de 0 é 3. O objetivo é encontrar um valor para um dado tal que, se , então . Vamos usar a definição de limite para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a condição que queremos que seja verdadeira:
Vamos simplificar essa expressão para encontrar uma relação entre e .
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Para encontrar x^2 + 43x + 13 , precisamos garantir que o denominador não se aproxime de zero (para evitar divisão por zero). Vamos analisar o denominador:
x^2 <= 1, 43|x| <= 43, 13 = 13
Vamos garantir que seja pequeno o suficiente para que o denominador esteja longe de zero. Assumindo , temos:
Então, o denominador mínimo seria algo negativo, o que indica que precisamos ajustar nosso intervalo. Para simplificar, podemos limitar ainda mais para garantir que o denominador seja positivo.
Passo 5
Vamos escolher |x| < 12 Rightarrow x^2 < 14, 43|x| < 43 cdot 12 = 23 de forma que x^2 + 43x + 13 > 13 - 23 + 0 = -13 esteja próximo o suficiente de 0 para que o denominador seja maior que um certo valor positivo. Por exemplo, se escolhemos , então:
Assim, o denominador:
Para garantir positividade, precisamos ajustar mais. Vamos escolher menor, por exemplo .