Determine um de0 para epsilon>0, tal que
se 0<|x-x0|â
Para cada funçào f(x) sào dados
lim x x0 f(x)=L
lim x 0 1x^2+43 x+13=3.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e sabemos que o limite dela quando se aproxima de 0 é 3. O objetivo é encontrar um valor para um dado tal que, se , então . Vamos usar a definição de limite para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição que queremos que seja verdadeira:
| 1x^2 + 43x + 13 - 3 | < epsilon
Vamos simplificar essa expressão para encontrar uma relação entre e .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
| 1x^2 + 43x + 13 - 3 | = | 1 - 3(x^2 + 43x + 13)x^2 + 43x + 13 |
Simplificando o numerador:
1 - 3x^2 - 4x - 1 = -3x^2 - 4x
Então temos:
| -3x^2 - 4xx^2 + 43x + 13 | < epsilon
Podemos simplificar removendo o sinal negativo:
3x^2 + 4xx^2 + 43x + 13 < epsilon

Passo 4

Para encontrar x^2 + 43x + 13 , precisamos garantir que o denominador não se aproxime de zero (para evitar divisão por zero). Vamos analisar o denominador:
x^2 <= 1, 43|x| <= 43, 13 = 13
Vamos garantir que seja pequeno o suficiente para que o denominador esteja longe de zero. Assumindo , temos:
Então, o denominador mínimo seria algo negativo, o que indica que precisamos ajustar nosso intervalo. Para simplificar, podemos limitar ainda mais para garantir que o denominador seja positivo.

Passo 5

Vamos escolher |x| < 12 Rightarrow x^2 < 14, 43|x| < 43 cdot 12 = 23 de forma que x^2 + 43x + 13 > 13 - 23 + 0 = -13 esteja próximo o suficiente de 0 para que o denominador seja maior que um certo valor positivo. Por exemplo, se escolhemos , então:
Assim, o denominador:
Para garantir positividade, precisamos ajustar mais. Vamos escolher menor, por exemplo .

Passo 6

Com |x| < 14 Rightarrow x^2 < 116, 43|x| < 43 cdot 14 = 13 :
x^2 + 43x + 13 > 13 - 13 + 0 = 0
Então, o denominador fica:
x^2 + 43x + 13 >= 16
Para evitar igual a zero, podemos garantir que o denominador seja pelo menos :
Agora, podemos usar essa informação para relacionar com .

Passo 7

Voltando à desigualdade principal:
3x^2 + 4xx^2 + 43x + 13 < epsilon
Sabendo que o denominador é pelo menos 3x^2 + 4x < epsilon cdot 16 Rightarrow 3x^2 + 4x < epsilon6 :
4|x| < epsilon6 Rightarrow |x| < epsilon24
Como é pequeno (menor que ), podemos aproximar . Então:
Portanto, podemos escolher .

Resposta

Um valor válido para é . Assim, para qualquer , se , então .

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