Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e sabemos que o limite dela quando se aproxima de 0 é 3. O objetivo é encontrar um valor para um dado tal que, se , então . Vamos usar a definição de limite para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a condição que queremos que seja verdadeira:
Vamos simplificar essa expressão para encontrar uma relação entre e .
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Simplificando o numerador:
Então temos:
Podemos simplificar removendo o sinal negativo:
Passo 4
Para encontrar , precisamos garantir que o denominador não se aproxime de zero (para evitar divisão por zero). Vamos analisar o denominador:
Vamos garantir que seja pequeno o suficiente para que o denominador esteja longe de zero. Assumindo , temos:
Então, o denominador mínimo seria algo negativo, o que indica que precisamos ajustar nosso intervalo. Para simplificar, podemos limitar ainda mais para garantir que o denominador seja positivo.
Passo 5
Vamos escolher de forma que esteja próximo o suficiente de 0 para que o denominador seja maior que um certo valor positivo. Por exemplo, se escolhemos , então:
Assim, o denominador:
Para garantir positividade, precisamos ajustar mais. Vamos escolher menor, por exemplo .
Passo 6
Com :
Então, o denominador fica:
Para evitar igual a zero, podemos garantir que o denominador seja pelo menos :
Agora, podemos usar essa informação para relacionar com .
Passo 7
Voltando à desigualdade principal:
Sabendo que o denominador é pelo menos :
Como é pequeno (menor que ), podemos aproximar . Então:
Portanto, podemos escolher .
Resposta
Um valor válido para é . Assim, para qualquer , se , então .