Seja aberto. Para fixo e qualquer, mostre que o conjunto
é um conjunto aberto.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se temos um conjunto aberto na reta real e fixamos um número , então o conjunto também é aberto. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de topologia, especificamente sobre conjuntos abertos e como eles se comportam quando deslocados por uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser aberto na reta real. Um conjunto é aberto se, para cada ponto , existe um intervalo aberto ao redor de que está totalmente contido em . Ou seja, conseguimos “encontrar espaço” em torno de cada ponto dentro do conjunto.

Passo 3

Agora, vamos considerar um ponto qualquer pertencente a . Isso significa que existe um tal que . Como é aberto, sabemos que em torno de existe um pequeno intervalo aberto que está totalmente dentro de .

Passo 4

Vamos ver o que acontece quando somamos a esse intervalo. Temos:
Esse é um intervalo aberto ao redor de e está contido em , porque todo elemento desse intervalo é da forma com .

Passo 5

Como mostramos que para qualquer ponto em existe um intervalo aberto ao redor de que está dentro de , concluímos que é um conjunto aberto.

Resposta

O conjunto é aberto.

Exercícios relacionados

(FUVEST) Calcule o valor de .
Determine um para , tal que
â
Para cada funçào sào dados
.
Sejam e conjuntos abertos. Mostre que o conjunto
é um conjunto aberto.
Sabendo que , , obtenha .