Seja
aberto. Para
fixo e qualquer, mostre que o conjunto
é um conjunto aberto.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se temos um conjunto aberto
na reta real
e fixamos um número
, então o conjunto
também é aberto. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de topologia, especificamente sobre conjuntos abertos e como eles se comportam quando deslocados por uma constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser aberto na reta real. Um conjunto
é aberto se, para cada ponto
, existe um intervalo aberto ao redor de
que está totalmente contido em
. Ou seja, conseguimos “encontrar espaço” em torno de cada ponto dentro do conjunto.
Passo 3
Agora, vamos considerar um ponto qualquer
pertencente a
. Isso significa que existe um
tal que
. Como
é aberto, sabemos que em torno de
existe um pequeno intervalo aberto
que está totalmente dentro de
.
Passo 4
Vamos ver o que acontece quando somamos
a esse intervalo. Temos:
Esse é um intervalo aberto ao redor de
e está contido em
, porque todo elemento desse intervalo é da forma
com
.
Passo 5
Como mostramos que para qualquer ponto
em
existe um intervalo aberto ao redor de
que está dentro de
, concluímos que
é um conjunto aberto.
Resposta
O conjunto
é aberto.
Exercícios relacionados
(FUVEST) Calcule o valor de
.
Determine um
para
, tal que
Para cada funçào
sào dados
Sejam
e
conjuntos abertos. Mostre que o conjunto
é um conjunto aberto.
Sabendo que
,
, obtenha
.