Determine um de0 para epsilon>0, tal que
se 0<|x-x0|â
Para cada funçào f(x) sào dados
lim x x0 f(x)=L
lim x 2(x^2-x-6)=-4

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo que envolve o conceito de limite de uma função. O enunciado pede para a gente encontrar um valor δ maior que zero, de acordo com um ε dado, de modo que se a distância entre limx to 2 (x^2 - x - 6) = -4 e for menor que δ (mas diferente de zero), a distância entre e seja menor que ε. No caso específico, temos a função , o limite quando se aproxima de 2 é igual a -4, ou seja:
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa esse limite usando a definição de limite. Dizemos que:
limx to x0 f(x) = L
significa que para cada ε > 0, existe um δ > 0 tal que se 0 < |x - 2| < de, então .
No nosso caso, e . Queremos achar δ em função de ε para garantir que:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do módulo:
|(x^2 - x - 6) - (-4)| = |x^2 - x - 6 + 4| = |x^2 - x - 2|
Então, nosso objetivo é garantir que:
|x^2 - x - 2| < epsilon

Passo 4

Agora, vamos fatorar a expressão x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) para simplificar:
|x^2 - x - 2| = |x - 2||x + 1|
Portanto:
|x - 2||x + 1| < epsilon
Queremos que isso seja menor que ε:

Passo 5

Para controlar essa expressão, precisamos limitar 2 - 1 < x < 2 + 1 implies 1 < x < 3 . Vamos supor que 1 + 1 = 2 < x + 1 < 3 + 1 = 4 implies |x + 1| < 4 é pequeno o suficiente para que . Isso implica que está entre 1 e 3, pois:
Assim, fica entre 2 e 4:

Passo 6

Voltando à desigualdade:
|x - 2||x + 1| < epsilon
Sabemos que |x - 2| cdot 4 < epsilon implies |x - 2| < epsilon4 , então:

Passo 7

Agora, queremos que de. Para satisfazer ambas as condições e , escolhemos δ como o mínimo entre 1 e :

Resposta

Portanto, podemos escolher:
de

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