Determine um
para
, tal que
Para cada funçào
sào dados
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo que envolve o conceito de limite de uma função. O enunciado pede para a gente encontrar um valor δ maior que zero, de acordo com um ε dado, de modo que se a distância entre
e
for menor que δ (mas diferente de zero), a distância entre
e
seja menor que ε. No caso específico, temos a função
, o limite quando
se aproxima de 2 é igual a -4, ou seja:
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa esse limite usando a definição de limite. Dizemos que:
significa que para cada ε > 0, existe um δ > 0 tal que se
, então
.
No nosso caso,
e
. Queremos achar δ em função de ε para garantir que:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro do módulo:
Então, nosso objetivo é garantir que:
Passo 4
Agora, vamos fatorar a expressão
para simplificar:
Portanto:
Queremos que isso seja menor que ε:
Passo 5
Para controlar essa expressão, precisamos limitar
. Vamos supor que
é pequeno o suficiente para que
. Isso implica que
está entre 1 e 3, pois:
Assim,
fica entre 2 e 4:
Passo 6
Voltando à desigualdade:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, queremos que
. Para satisfazer ambas as condições
e
, escolhemos δ como o mínimo entre 1 e
:
Resposta
Portanto, podemos escolher: