Determine a decomposição em frações parciais de cada uma das expressões.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a expressão
e a gente precisa decompor essa fração em frações parciais. Frações parciais são uma técnica usada na matemática para quebrar frações mais complicadas em frações mais simples, o que facilita resolver integrais, equações diferenciais e outras operações. Para isso, vamos precisar entender como fatorar o denominador e determinar os coeficientes que vão multiplicar cada parte da decomposição.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a decomposição em frações parciais. Como o denominador é
, que é um fator linear repetido, nossa decomposição vai ter termos com
e
no denominador. Então, podemos expressar a fração original da seguinte forma:
Aqui,
e
são constantes que precisamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos eliminar os denominadores para resolver para
e
. Multiplicamos ambos os lados da equação por
:
Expandindo o termo
:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes em ambos os lados da equação:
- Para os termos com
:
- Para os termos constantes:
Já sabemos que
. Vamos substituir esse valor na segunda equação para encontrar
:
Resposta
Então, a decomposição em frações parciais da expressão dada é: