Determine a decomposição em frações parciais de cada uma das expressões. (10 S + 35) / (S + 4)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a expressão e a gente precisa decompor essa fração em frações parciais. Frações parciais são uma técnica usada na matemática para quebrar frações mais complicadas em frações mais simples, o que facilita resolver integrais, equações diferenciais e outras operações. Para isso, vamos precisar entender como fatorar o denominador e determinar os coeficientes que vão multiplicar cada parte da decomposição.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a decomposição em frações parciais. Como o denominador é , que é um fator linear repetido, nossa decomposição vai ter termos com e no denominador. Então, podemos expressar a fração original da seguinte forma:
Aqui, A e B são constantes que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos eliminar os denominadores para resolver para A e B. Multiplicamos ambos os lados da equação por :
Expandindo o termo :

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes em ambos os lados da equação:
  1. Para os termos com S:
  1. Para os termos constantes:
Já sabemos que . Vamos substituir esse valor na segunda equação para encontrar B:

Resposta

Então, a decomposição em frações parciais da expressão dada é:

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