Determine a decomposição em frações parciais de cada uma das expressões.
Passo 1
Vamos resolver a decomposição em frações parciais da expressão
. Isso faz parte da matéria de Álgebra, mais especificamente de Frações Parciais. Para resolver, vamos precisar entender como quebrar uma fração complexa em partes mais simples que são mais fáceis de trabalhar.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar a fração dada como a soma de frações mais simples. A forma geral para a decomposição em frações parciais, quando o denominador tem fatores lineares e quadráticos, é:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, expandimos e simplificamos os termos do lado direito:
Somando tudo:
Passo 5
Agrupamos os termos semelhantes:
Essa expressão deve ser igual à esquerda da equação original:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Passo 7
Resolvemos esse sistema de equações. Vamos começar da primeira equação:
Substituímos
na segunda equação:
Agora, substituímos
na terceira equação:
Passo 8
Temos agora um sistema com duas equações:
Podemos resolver esse sistema multiplicando a primeira equação por 2:
Agora, somamos com a segunda equação:
Passo 9
Com
, substituímos na equação
:
Finalmente, substituímos
em
:
Resposta
A decomposição em frações parciais é:
Simplificando, podemos omitir o termo com coeficiente zero: