Determine a decomposição em frações parciais de cada uma das expressões.
Passo 1
Beleza, temos o exercício de decomposição em frações parciais. A gente vai trabalhar com a expressão
. A matéria aqui é de Álgebra, especificamente sobre frações parciais, que nos ajuda a quebrar frações mais complicadas em partes mais simples. Vamos precisar identificar os termos da fração e aplicar a técnica de frações parciais para simplificar.
Passo 2
Primeiro, observamos que o denominador é
. Como o denominador é um quadrado de um polinômio de segunda ordem, nossa decomposição vai ter termos com
e
. Além disso, como o numerador tem
, que é de grau 3, a gente sabe que precisaremos de numeradores lineares (do primeiro grau) para cada fração.
Passo 3
Vamos então escrever a decomposição em frações parciais:
Aqui,
,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Vamos expandir a expressão do lado direito:
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Passo 6
Resolvendo as equações:
- De
, temos . - De
, temos . - Substituindo
na equação , temos , logo . - De
e sabendo que , temos .
Resposta
A decomposição em frações parciais é:
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