Determine a decomposição em frações parciais de cada uma das expressões. (4 S^3 + 16 S + 7) / (S^2 + 4)^2

Passo 1

Beleza, temos o exercício de decomposição em frações parciais. A gente vai trabalhar com a expressão (4 S^3 + 16 S + 7) / (S^2 + 4)^2. A matéria aqui é de Álgebra, especificamente sobre frações parciais, que nos ajuda a quebrar frações mais complicadas em partes mais simples. Vamos precisar identificar os termos da fração e aplicar a técnica de frações parciais para simplificar.

Passo 2

Primeiro, observamos que o denominador é . Como o denominador é um quadrado de um polinômio de segunda ordem, nossa decomposição vai ter termos com e . Além disso, como o numerador tem , que é de grau 3, a gente sabe que precisaremos de numeradores lineares (do primeiro grau) para cada fração.

Passo 3

Vamos então escrever a decomposição em frações parciais:
Aqui, A, B, C e D são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Vamos expandir a expressão do lado direito:
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Para :
  • Para S^2:
  • Para S:
  • Para o termo constante:

Passo 6

Resolvendo as equações:
  • De , temos .
  • De , temos .
  • Substituindo na equação , temos , logo .
  • De e sabendo que , temos .

Resposta

A decomposição em frações parciais é:

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