Determine a decomposição em frações parciais de cada uma das expressões.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de decomposição em frações parciais! O enunciado pede para a gente decompor a expressão
. A matéria envolvida aqui é a de frações parciais, que é usada para quebrar frações mais complicadas em partes mais simples, facilitando integrações e outros cálculos. Para isso, vamos precisar identificar os fatores do denominador e configurar a decomposição de acordo com eles.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador
. Ele está fatorado, sendo
um fator linear e
um fator quadrático que não pode ser fatorado mais (pois não tem raízes reais).
Quando temos um denominador com esses tipos de fatores, a decomposição em frações parciais fica assim:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar os valores de
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Agora, vamos expandir o lado direito:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos de mesmo grau:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações passo a passo:
- Da terceira equação:
, então . - Substituindo
na primeira equação: , então . - Substituindo
na segunda equação: , então .
Resposta
A decomposição em frações parciais é:
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