Determine a decomposição em frações parciais de cada uma das expressões.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de decomposição em frações parciais! O enunciado pede para a gente decompor a expressão . A matéria envolvida aqui é a de frações parciais, que é usada para quebrar frações mais complicadas em partes mais simples, facilitando integrações e outros cálculos. Para isso, vamos precisar identificar os fatores do denominador e configurar a decomposição de acordo com eles.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador . Ele está fatorado, sendo um fator linear e um fator quadrático que não pode ser fatorado mais (pois não tem raízes reais).
Quando temos um denominador com esses tipos de fatores, a decomposição em frações parciais fica assim:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Agora, vamos expandir o lado direito:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos de mesmo grau:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo:
  1. Da terceira equação: , então .
  2. Substituindo na primeira equação: , então .
  3. Substituindo na segunda equação: , então .

Resposta

A decomposição em frações parciais é:

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