Determine a decomposição em frações parciais de cada uma das expressões.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de frações parciais! A gente precisa decompor a expressão em frações mais simples. Pra isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que é super útil pra quebrar frações complicadas em partes menores, facilitando a análise e a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a fração que queremos decompor como uma soma de frações com denominadores simples. Como o denominador original é o produto de três fatores lineares distintos, ou seja, , e , podemos escrever:
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, para encontrar os valores de A, B e C, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 4

Vamos expandir cada termo do lado direito:
  1. Expande :
  2. Expande :
  3. Expande :

Passo 5

Agora, vamos somar todos esses termos:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Igualamos isso à expressão do lado esquerdo da equação original:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para o termo constante:

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da primeira equação:
Podemos expressar A em função de B e C:
Substituímos A na segunda equação:
Simplificando:
Agora, substituímos A na terceira equação:
Simplificando:

Passo 8

Agora temos um sistema com duas equações:
  1. \quad (2)
  2. \quad (3)
Podemos resolver esse sistema multiplicando a equação (2) por 4:
Subtraímos a equação (3) da equação (2a):

Passo 9

Agora que temos C = -7, substituímos na equação (2):
Agora, substituímos B = -8 e C = -7 na equação (1a):

Resposta

A decomposição em frações parciais da expressão dada é:

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éçãéí
Use o teorema fundamental, para calcular a integral de linha.
Sua resposta
éçãé
Determine a decomposição em frações parciais de cada uma das expressões.