Determine a decomposição em frações parciais de cada uma das expressões.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de frações parciais! A gente precisa decompor a expressão em frações mais simples. Pra isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que é super útil pra quebrar frações complicadas em partes menores, facilitando a análise e a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a fração que queremos decompor como uma soma de frações com denominadores simples. Como o denominador original é o produto de três fatores lineares distintos, ou seja, , e , podemos escrever:
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, para encontrar os valores de A, B e C, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Passo 4
Vamos expandir cada termo do lado direito:
Expande :
Expande :
Expande :
Passo 5
Agora, vamos somar todos esses termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Igualamos isso à expressão do lado esquerdo da equação original:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
Para :
Para :
Para o termo constante:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da primeira equação:
Podemos expressar A em função de B e C:
Substituímos A na segunda equação:
Simplificando:
Agora, substituímos A na terceira equação:
Simplificando:
Passo 8
Agora temos um sistema com duas equações:
\quad (2)
\quad (3)
Podemos resolver esse sistema multiplicando a equação (2) por 4:
Subtraímos a equação (3) da equação (2a):
Passo 9
Agora que temos C = -7, substituímos na equação (2):
Agora, substituímos B = -8 e C = -7 na equação (1a):
Resposta
A decomposição em frações parciais da expressão dada é: