Determine a decomposição em frações parciais de cada uma das expressões.
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício de decomposição em frações parciais. Isso faz parte da matéria de álgebra, onde a gente quebra uma fração mais complicada em frações mais simples. Aqui, a gente vai decompor a expressão . Para isso, vamos precisar entender como identificar os fatores do denominador e atribuir constantes a cada parte.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fração original e identificar o denominador:
O denominador é , que é um fator linear elevado ao quadrado. Isso significa que na decomposição, teremos termos com e no denominador.
Passo 3
Agora, vamos montar a forma geral da decomposição em frações parciais para esse denominador:
Aqui, e são constantes que a gente precisa encontrar.
Passo 4
Para encontrar e , vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por :
Agora, nossa tarefa é resolver essa equação para e .
Passo 5
Para facilitar, vamos substituir por um valor que simplifique a equação. Note que se , então . Vamos usar esse valor:
Então, já encontramos que .
Passo 6
Agora, para encontrar , vamos voltar à equação sem substituir :
Vamos isolar os termos com :
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Isso nos dá duas equações:
Então, .
Resposta
A decomposição em frações parciais da expressão é: