Determine a decomposição em frações parciais de cada uma das expressões.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício de decomposição em frações parciais. Isso faz parte da matéria de álgebra, onde a gente quebra uma fração mais complicada em frações mais simples. Aqui, a gente vai decompor a expressão . Para isso, vamos precisar entender como identificar os fatores do denominador e atribuir constantes a cada parte.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração original e identificar o denominador:
O denominador é , que é um fator linear elevado ao quadrado. Isso significa que na decomposição, teremos termos com e no denominador.

Passo 3

Agora, vamos montar a forma geral da decomposição em frações parciais para esse denominador:
Aqui, e são constantes que a gente precisa encontrar.

Passo 4

Para encontrar e , vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por :
Agora, nossa tarefa é resolver essa equação para e .

Passo 5

Para facilitar, vamos substituir por um valor que simplifique a equação. Note que se , então . Vamos usar esse valor:
Então, já encontramos que .

Passo 6

Agora, para encontrar , vamos voltar à equação sem substituir :
Vamos isolar os termos com :

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Isso nos dá duas equações:
Então, .

Resposta

A decomposição em frações parciais da expressão é:

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