Determine a decomposição em frações parciais de cada uma das expressões.
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício de decomposição em frações parciais. Isso faz parte da matéria de álgebra, onde a gente quebra uma fração mais complicada em frações mais simples. Aqui, a gente vai decompor a expressão
. Para isso, vamos precisar entender como identificar os fatores do denominador e atribuir constantes a cada parte.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fração original e identificar o denominador:
O denominador é
, que é um fator linear elevado ao quadrado. Isso significa que na decomposição, teremos termos com
e
no denominador.
Passo 3
Agora, vamos montar a forma geral da decomposição em frações parciais para esse denominador:
Aqui,
e
são constantes que a gente precisa encontrar.
Passo 4
Para encontrar
e
, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por
:
Agora, nossa tarefa é resolver essa equação para
e
.
Passo 5
Para facilitar, vamos substituir
por um valor que simplifique a equação. Note que se
, então
. Vamos usar esse valor:
Então, já encontramos que
.
Passo 6
Agora, para encontrar
, vamos voltar à equação sem substituir
:
Vamos isolar os termos com
:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Isso nos dá duas equações:
Então,
.
Resposta
A decomposição em frações parciais da expressão é: