Beleza, vamos resolver esse exercício de série de Fourier juntos! A questão pede para encontrarmos a série de Fourier em senos para a função definida por:
O período da função é 4. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir uma série de senos para funções definidas em um intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o tipo de série de Fourier que vamos usar. Como a função é definida em e é especificada como uma série de senos, estamos lidando com uma Série de Fourier de Senos. Esse tipo de série é útil para representar funções que são zero em um dos extremos do intervalo, mas vamos adaptar para o nosso caso.
Passo 3
Vamos lembrar que a série de Fourier em senos para uma função com período é dada por:
onde . No nosso caso, , então . Portanto, a série fica:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os coeficientes . A fórmula para calcular é:
Substituindo , temos:
Passo 5
Vamos dividir a integral em duas partes, de acordo com a definição da função:
Vamos calcular cada integral separadamente.
Passo 6
Primeira integral:
Para resolver isso, usamos a técnica de integração por partes, onde: