encontre a série de Fourier indicada para a função dada: f(x)=llx, & 0 <= x<1 1, & 1 <= x<2 série em senos, período 4éçãéí

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de série de Fourier juntos! A questão pede para encontrarmos a série de Fourier em senos para a função f(x) = x, & 0 <= x < 1 1, & 1 <= x < 2 definida por:
O período da função é 4. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir uma série de senos para funções definidas em um intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o tipo de série de Fourier que vamos usar. Como a função é definida em e é especificada como uma série de senos, estamos lidando com uma Série de Fourier de Senos. Esse tipo de série é útil para representar funções que são zero em um dos extremos do intervalo, mas vamos adaptar para o nosso caso.

Passo 3

Vamos lembrar que a série de Fourier em senos para uma função com período f(x) = sumn=1^infty bn sin(npi xL) é dada por:
f(x) = sumn=1^infty bn sin(npi x2)
onde . No nosso caso, , então . Portanto, a série fica:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os coeficientes bn = 2L integral0^L f(x) sin(npi xL) dx . A fórmula para calcular bn = 22 integral0^2 f(x) sin(npi x2) dx = integral0^2 f(x) sin(npi x2) dx é:
Substituindo , temos:

Passo 5

Vamos dividir a integral em duas partes, de acordo com a definição da função:
bn = integral0^1 x sin(npi x2) dx + integral1^2 1 cdot sin(npi x2) dx
Vamos calcular cada integral separadamente.

Passo 6

Primeira integral:
I1 = integral0^1 x sin(npi x2) dx
Para resolver isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:
u = x Rightarrow du = dx dv = sin(npi x2) dx Rightarrow v = -2npi cos(npi x2)
Aplicando a fórmula:
I1 = uv - integral v , du = -2xnpi cos(npi x2) gr|0^1 + 2npi integral0^1 cos(npi x2) dx
Calculando os limites e a segunda integral:
I1 = -2npi cos(npi2) + 2npi [ 2npi sin(npi x2) gr|0^1 ] = -2npi cos(npi2) + 4(npi)^2 sin(npi2)

Passo 7

Segunda integral:
I2 = integral1^2 sin(npi x2) dx
Integrando:
I2 = -2npi cos(npi x2) gr|1^2 = -2npi [ cos(npi) - cos(npi2) ]
Sabendo que I2 = -2npi [ (-1)^n - cos(npi2) ] , temos:

Passo 8

Agora, somamos bn = I1 + I2 = -2npi cos(npi2) + 4(npi)^2 sin(npi2) - 2npi [ (-1)^n - cos(npi2) ] e bn = 4(npi)^2 sin(npi2) - 2 (-1)^nnpi para obter :
Simplificando:

Passo 9

Portanto, a série de Fourier em senos para a função f(x) = sumn=1^infty ( 4(npi)^2 sin(npi x2) - 2 (-1)^nnpi sin(npi x2) ) é:
f(x) = sumn=1^infty ( 4(npi)^2 - 2 (-1)^nnpi ) sin(npi x2)
Podemos fatorar :

Resposta

A série de Fourier em senos indicada para a função dada é:
f(x) = sumn=1^infty ( 4(npi)^2 - 2 (-1)^nnpi ) sin(npi x2)

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