Use o teorema fundamental, para calcular a integral de linha.
l F(x, y)=x y^2 i+x^2 y j, C: r(t)=lang<= t+sen 12 pi t, t+cos 12 pi trang<=, 0 <= t <= 1
Sua resposta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema Fundamental. A gente vai trabalhar com um campo vetorial e uma curva parametrizada por para entre 0 e 1. Vamos precisar entender o que é o Teorema Fundamental para integrais de linha e como encontrar uma função potencial para .

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é o Teorema Fundamental para Integrais de Linha. Basicamente, se o campo vetorial for conservativo, ou seja, existir uma função potencial tal que , então a integral de linha de ao longo de depende só dos pontos inicial e final de . Isso facilita muito o cálculo!

Passo 3

Então, nosso primeiro passo é verificar se é conservativo. Para isso, precisamos encontrar uma função cuja derivada parcial em relação a e em relação a .

Passo 4

Vamos começar integrando f(x, y) = integral x y^2 dx = 12 x^2 y^2 + h(y) em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de .

Passo 5

Agora, vamos derivar partial fpartial y = 12 x^2 cdot 2 y + h'(y) = x^2 y + h'(y) em relação a x^2 y + h'(y) = x^2 y implies h'(y) = 0 e igualar a :
Igualando a , temos:
Isso significa que é uma constante, que podemos chamar de .

Passo 6

Portanto, a função potencial é:
f(x, y) = 12 x^2 y^2 + C
Agora que temos , podemos usar o Teorema Fundamental para calcular a integral de linha.

Passo 7

Segundo o Teorema, a integral de linha de ao longo de é igual a no ponto final menos no ponto inicial. Vamos encontrar esses pontos.

Passo 8

Primeiro, encontramos r(0) = lang<= 0 + sin(0), 0 + cos(0) rang<= = lang<= 0, 1 rang<= :
Então, o ponto inicial é .

Passo 9

Agora, encontramos r(1) = lang<= 1 + sin(12 pi cdot 1), 1 + cos(12 pi cdot 1) rang<= :
r(1) = lang<= 1 + 1, 1 + 0 rang<= = lang<= 2, 1 rang<=
Sabemos que e , então:
Então, o ponto final é .

Passo 10

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental:
integralC F cdot dr = f(2, 1) - f(0, 1)
Vamos calcular cada termo.

Passo 11

Calculando f(2, 1) = 12 cdot (2)^2 cdot (1)^2 + C = 12 cdot 4 cdot 1 + C = 2 + C :
f(0, 1) = 12 cdot (0)^2 cdot (1)^2 + C = 0 + C = C
E :

Passo 12

Subtraindo:
f(2, 1) - f(0, 1) = (2 + C) - C = 2

Resposta

A integral de linha é igual a .

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