Use o teorema fundamental, para calcular a integral de linha.
Sua resposta
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema Fundamental. A gente vai trabalhar com um campo vetorial
e uma curva
parametrizada por
para
entre 0 e 1. Vamos precisar entender o que é o Teorema Fundamental para integrais de linha e como encontrar uma função potencial para
.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é o Teorema Fundamental para Integrais de Linha. Basicamente, se o campo vetorial
for conservativo, ou seja, existir uma função potencial
tal que
, então a integral de linha de
ao longo de
depende só dos pontos inicial e final de
. Isso facilita muito o cálculo!
Passo 3
Então, nosso primeiro passo é verificar se
é conservativo. Para isso, precisamos encontrar uma função
cuja derivada parcial em relação a
dê
e em relação a
dê
.
Passo 4
Vamos começar integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Igualando a
, temos:
Isso significa que
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 6
Portanto, a função potencial é:
Agora que temos
, podemos usar o Teorema Fundamental para calcular a integral de linha.
Passo 7
Segundo o Teorema, a integral de linha de
ao longo de
é igual a
no ponto final menos
no ponto inicial. Vamos encontrar esses pontos.
Passo 8
Primeiro, encontramos
:
Então, o ponto inicial é
.
Passo 9
Agora, encontramos
:
Sabemos que
e
, então:
Então, o ponto final é
.
Passo 10
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental:
Vamos calcular cada termo.
Passo 11
Calculando
:
E
:
Passo 12
Subtraindo:
Resposta
A integral de linha é igual a
.