éçãé

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de série de Fourier juntos! O que a gente tem aqui é uma função que muda de valor em diferentes intervalos dentro de um período de . A gente precisa encontrar a série de Fourier dessa função usando apenas termos de seno. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular os coeficientes da série de Fourier para funções periódicas e entender um pouco sobre integrais. Mas não se preocupa, vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o período da função. Como foi dado que o período é , isso significa que a função se repete a cada unidades. Para a série de Fourier, usamos , que é a metade do período. Então, .

Passo 3

Como queremos uma série apenas com senos, isso significa que estamos lidando com uma série de Fourier do tipo seno, que é útil para funções que são ímpares em torno do ponto médio do período. A fórmula para os coeficientes nessa série é:
Aqui, é o número do termo na série.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada coeficiente usando a função dada. Nossa função tem três partes:
  • para
  • para
  • para
Vamos dividir a integral de em três partes correspondentes a esses intervalos:

Passo 5

Vamos simplificar as expressões dentro das integrais. Observando que , então a expressão fica:
A primeira integral desaparece porque está multiplicada por zero.

Passo 6

Agora, vamos resolver as integrais restantes. A integral de é . Aplicando isso:
Aplicamos os limites de integração para cada parte:
E

Passo 7

Substituindo essas integrais na expressão de :
Simplificando:

Passo 8

Factorizando :
Simplificando:

Passo 9

Agora, juntando tudo, a série de Fourier com senos para a função é:

Resposta

A série de Fourier indicada para a função dada é:

Exercícios relacionados

Determine a decomposição em frações parciais de cada uma das expressões.
éçãéí
Determine a decomposição em frações parciais de cada uma das expressões.
Determine a decomposição em frações parciais de cada uma das expressões.