encontre a série de Fourier indicada para a função dada: f(x)= 0, & & 0 & éçãé

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de série de Fourier juntos! O que a gente tem aqui é uma função que muda de valor em diferentes intervalos dentro de um período de . A gente precisa encontrar a série de Fourier dessa função usando apenas termos de seno. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular os coeficientes da série de Fourier para funções periódicas e entender um pouco sobre integrais. Mas não se preocupa, vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o período da função. Como foi dado que o período é , isso significa que a função se repete a cada unidades. Para a série de Fourier, usamos , que é a metade do período. Então, .

Passo 3

Como queremos uma série apenas com senos, isso significa que estamos lidando com uma série de Fourier do tipo seno, que é útil para funções que são ímpares em torno do ponto médio do período. A fórmula para os coeficientes bn = 2L integral0^L f(x) sin(npi xL) dx nessa série é:
Aqui, é o número do termo na série.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada coeficiente bn = 23pi ( integral0^pi 0 cdot sin(npi x3pi) dx + integralpi^2pi 1 cdot sin(npi x3pi) dx + integral2pi^3pi 2 cdot sin(npi x3pi) dx ) usando a função dada. Nossa função tem três partes:
  • para
  • para
  • para
Vamos dividir a integral de em três partes correspondentes a esses intervalos:

Passo 5

Vamos simplificar as expressões dentro das integrais. Observando que bn = 23pi ( 0 + integralpi^2pi sin(n x3) dx + 2 integral2pi^3pi sin(n x3) dx ) , então a expressão fica:
A primeira integral desaparece porque está multiplicada por zero.

Passo 6

Agora, vamos resolver as integrais restantes. A integral de integral sin(n x3) dx = -3n cos(n x3) é integralpi^2pi sin(n x3) dx = -3n [ cos(2npi3) - cos(npi3) ] . Aplicando isso:
integral2pi^3pi sin(n x3) dx = -3n [ cos(3npi3) - cos(2npi3) ] = -3n [ cos(npi) - cos(2npi3) ]
Aplicamos os limites de integração para cada parte:
E

Passo 7

Substituindo essas integrais na expressão de bn = 23pi ( -3n [ cos(2npi3) - cos(npi3) ] + 2 ( -3n [ cos(npi) - cos(2npi3) ] ) ) :
bn = 23pi ( -3n cos(2npi3) + 3n cos(npi3) - 6n cos(npi) + 6n cos(2npi3) )
Simplificando:
bn = 23pi ( 3n cos(npi3) + 3n cos(2npi3) - 6n cos(npi) )

Passo 8

Factorizando bn = 23pi cdot 3n ( cos(npi3) + cos(2npi3) - 2 cos(npi) ) :
bn = 2pi n ( cos(npi3) + cos(2npi3) - 2 cos(npi) )
Simplificando:

Passo 9

Agora, juntando tudo, a série de Fourier com senos para a função f(x) = sumn=1^infty bn sin(npi x3pi) = sumn=1^infty 2pi n ( cos(npi3) + cos(2npi3) - 2 cos(npi) ) sin(n x3) é:

Resposta

A série de Fourier indicada para a função dada é:
f(x) = sumn=1^infty 2pi n ( cos(npi3) + cos(2npi3) - 2 cos(npi) ) sin(n x3)

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