Determine a decomposição em frações parciais de cada uma das expressões.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de decomposição em frações parciais! A gente tem a expressão:
Nosso objetivo aqui é quebrar essa fração em partes menores que são mais fáceis de trabalhar. Para isso, vamos precisar:
- Fatorar o denominador
. - Usar o método das frações parciais para encontrar os coeficientes que vão nas frações menores.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Fatorar significa escrever esse polinômio como o produto de dois binômios. Procuramos dois números que, quando multiplicados, dão
(o termo constante) e, quando somados, dão
(o coeficiente de
).
Pensando bem, esses números são
e
:
Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora que o denominador está fatorado, vamos escrever a decomposição em frações parciais. A ideia é expressar a fração original como a soma de duas frações menores, cada uma com um dos fatores que encontramos:
Aqui,
e
são constantes que precisamos descobrir.
Passo 4
Para encontrar
e
, vamos primeiro juntar as frações do lado direito:
Agora, igualamos os numeradores:
Vamos expandir o lado direito:
Agrupando os termos de
e os termos constantes:
Isso nos dá um sistema de equações:
- Para os coeficientes de
:
- Para os termos constantes:
Vamos resolver esse sistema.
Primeiro, da primeira equação, podemos expressar
em função de
:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Expandindo:
Juntando os termos de
:
Isolando
:
Agora que temos
, substituímos de volta para encontrar
:
Resposta
A decomposição em frações parciais é:
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Use o teorema fundamental, para calcular a integral de linha.
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