Determine a decomposição em frações parciais de cada uma das expressões.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de decomposição em frações parciais! A gente tem a expressão:
Nosso objetivo aqui é quebrar essa fração em partes menores que são mais fáceis de trabalhar. Para isso, vamos precisar:
  • Fatorar o denominador .
  • Usar o método das frações parciais para encontrar os coeficientes que vão nas frações menores.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Fatorar significa escrever esse polinômio como o produto de dois binômios. Procuramos dois números que, quando multiplicados, dão (o termo constante) e, quando somados, dão (o coeficiente de ).
Pensando bem, esses números são e :
Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora que o denominador está fatorado, vamos escrever a decomposição em frações parciais. A ideia é expressar a fração original como a soma de duas frações menores, cada uma com um dos fatores que encontramos:
Aqui, e são constantes que precisamos descobrir.

Passo 4

Para encontrar e , vamos primeiro juntar as frações do lado direito:
Agora, igualamos os numeradores:
Vamos expandir o lado direito:
Agrupando os termos de e os termos constantes:
Isso nos dá um sistema de equações:
  1. Para os coeficientes de :
  1. Para os termos constantes:
Vamos resolver esse sistema.
Primeiro, da primeira equação, podemos expressar em função de :
Agora, substituímos na segunda equação:
Expandindo:
Juntando os termos de :
Isolando :
Agora que temos , substituímos de volta para encontrar :

Resposta

A decomposição em frações parciais é:

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Determine a decomposição em frações parciais de cada uma das expressões.
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Use o teorema fundamental, para calcular a integral de linha.
Sua resposta
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