Determine a decomposição em frações parciais de cada uma das expressões.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede pra fazer a decomposição em frações parciais da expressão . Isso faz parte do conteúdo de Álgebra, especificamente no estudo de frações parciais, que ajuda a simplificar expressões racionais para facilitar integrações ou outras operações matemáticas. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e encontrar os coeficientes das frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . A ideia é encontrar dois números que, multiplicados, deem e que, somados, deem . Esses números são e .
Então, reescrevemos o denominador assim:
Então, o denominador fatorado é .

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, podemos escrever a decomposição em frações parciais. Vamos supor que:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Expandindo os termos:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações. Primeiro, da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo na expressão de :

Resposta

A decomposição em frações parciais é:

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Determine a decomposição em frações parciais de cada uma das expressões.
Use o teorema fundamental, para calcular a integral de linha.
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