Determine a decomposição em frações parciais de cada uma das expressões.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede pra fazer a decomposição em frações parciais da expressão
. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra, especificamente no estudo de frações parciais, que ajuda a simplificar expressões racionais para facilitar integrações ou outras operações matemáticas. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e encontrar os coeficientes das frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. A ideia é encontrar dois números que, multiplicados, deem
e que, somados, deem
. Esses números são
e
.
Então, reescrevemos o denominador assim:
Então, o denominador fatorado é
.
Passo 3
Agora que temos o denominador fatorado, podemos escrever a decomposição em frações parciais. Vamos supor que:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Expandindo os termos:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações. Primeiro, da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Agora, substituindo
na expressão de
:
Resposta
A decomposição em frações parciais é: