Determine a decomposição em frações parciais de cada uma das expressões.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de decomposição em frações parciais. A gente tem a expressão . Aqui, o conteúdo envolve frações racionais e a técnica de decomposição em frações parciais. Vamos precisar identificar os fatores do denominador e expressar a fração original como a soma de frações mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a decomposição geral da fração. Como o denominador é , assumimos a forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por :
Passo 4
Expandindo os termos do lado direito:
Isso vira:
Passo 5
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos de mesma potência do lado esquerdo e direito da equação:
Passo 7
Resolvendo esse sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na terceira equação:
Passo 8
Agora temos:
Multiplicando a primeira equação por 6:
Subtraindo a segunda equação:
Passo 9
Com , encontramos :
E substituindo na primeira equação do segundo sistema:
Resposta
A decomposição em frações parciais da expressão é: