suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original (a) Encontre a série de Fourier da função estendida (b) Esboce o gráfico da função para a qual a série conver>= por três períodos: f(x)=lc0, & -pi <= x<-pi / 2, 1, & -pi / 2 <= xçãééçãáçãéêí

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Vamos precisar entender como construir a série de Fourier para uma função definida em um intervalo e depois estendida periodicamente. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que nos foi dada:
f(x) = 0, & -pi <= x < -pi / 2, 1, & -pi / 2 <= x < pi / 2, 0, & pi / 2 <= x < pi
Essa função é definida no intervalo e será estendida periodicamente para todo o eixo .

Passo 3

A série de Fourier de uma função periódica com período f(x) = a02 + sumn=1^infty [ an cos(nx) + bn sin(nx) ] é dada por:
an = 1pi integral-pi^pi f(x) cos(nx) , dx
Onde os coeficientes bn = 1pi integral-pi^pi f(x) sin(nx) , dx e a0 = 1pi integral-pi^pi f(x) , dx são calculados por:
E o coeficiente é:
Vamos calcular esses coeficientes para nossa função.

Passo 4

Vamos começar com a0 = 1pi ( integral-pi^-pi/2 0 , dx + integral-pi/2^pi/2 1 , dx + integralpi/2^pi 0 , dx ) :
a0 = 1pi ( 0 + [ x ]-pi/2^pi/2 + 0 ) = 1pi ( pi/2 - (-pi/2) ) = 1pi (pi) = 1
an = 1pi ( integral-pi^-pi/2 0 cdot cos(nx) , dx + integral-pi/2^pi/2 1 cdot cos(nx) , dx + integralpi/2^pi 0 cdot cos(nx) , dx )
Agora, vamos calcular an = 1pi integral-pi/2^pi/2 cos(nx) , dx = 1pi [ sin(nx)n ]-pi/2^pi/2 = 1pi n ( sin(npi/2) - sin(-npi/2) ) :
an = 2pi n sin(npi/2)
bn = 1pi ( integral-pi^-pi/2 0 cdot sin(nx) , dx + integral-pi/2^pi/2 1 cdot sin(nx) , dx + integralpi/2^pi 0 cdot sin(nx) , dx )
bn = 1pi integral-pi/2^pi/2 sin(nx) , dx = 1pi [ -cos(nx)n ]-pi/2^pi/2 = -1pi n ( cos(npi/2) - cos(-npi/2) )
Agora, cos(-npi/2) = cos(npi/2) Rightarrow bn = -1pi n ( cos(npi/2) - cos(npi/2) ) = 0 :
Então, os coeficientes são todos zero.

Passo 5

Com os coeficientes calculados, a série de Fourier fica:
f(x) = a02 + sumn=1^infty an cos(nx)
f(x) = 12 + sumn=1^infty ( 2pi n sin(npi2) ) cos(nx)
Podemos simplificar a expressão reconhecendo que f(x) = 12 + 2pi sumk=0^infty (-1)^k2k + 1 cos((2k + 1)x) varia de acordo com :
  • Para par, .
  • Para ímpar, .
Portanto, a série só tem termos para ímpares:

Passo 6

Agora, para a parte (b), vamos esboçar o gráfico da função f(x) = 0, & -pi <= x < -pi / 2, 1, & -pi / 2 <= x < pi / 2, 0, & pi / 2 <= x < pi para a qual a série converge. A função é uma onda quadrada definida por:
Como a função é periódica com período , para três períodos temos o intervalo . O gráfico será uma repetição desse padrão: 0 em , 1 em , 0 em , 1 em , e assim por diante.

Resposta

(a) A série de Fourier da função é:
f(x) = 12 + 2pi ( cos(x) - cos(3x)3 + cos(5x)5 - cos(7x)7 + cdots )
(b) O gráfico da função para três períodos é uma onda quadrada que alterna entre 0 e 1, com transições nos pontos , etc., conforme descrito no passo anterior.

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