Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Vamos precisar entender como construir a série de Fourier para uma função definida em um intervalo e depois estendida periodicamente. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que nos foi dada:
f(x) = 0, & -pi <= x < -pi / 2, 1, & -pi / 2 <= x < pi / 2, 0, & pi / 2 <= x < pi
Essa função é definida no intervalo e será estendida periodicamente para todo o eixo .
Passo 3
A série de Fourier de uma função periódica com período f(x) = a02 + sumn=1^infty [ an cos(nx) + bn sin(nx) ] é dada por:
an = 1pi integral-pi^pi f(x) cos(nx) , dx
Onde os coeficientes bn = 1pi integral-pi^pi f(x) sin(nx) , dx e a0 = 1pi integral-pi^pi f(x) , dx são calculados por:
E o coeficiente é:
Vamos calcular esses coeficientes para nossa função.
Podemos simplificar a expressão reconhecendo que f(x) = 12 + 2pi sumk=0^infty (-1)^k2k + 1 cos((2k + 1)x) varia de acordo com :
Para par, .
Para ímpar, .
Portanto, a série só tem termos para ímpares:
Passo 6
Agora, para a parte (b), vamos esboçar o gráfico da função f(x) = 0, & -pi <= x < -pi / 2, 1, & -pi / 2 <= x < pi / 2, 0, & pi / 2 <= x < pi para a qual a série converge. A função é uma onda quadrada definida por:
Como a função é periódica com período , para três períodos temos o intervalo . O gráfico será uma repetição desse padrão: 0 em , 1 em , 0 em , 1 em , e assim por diante.
(b) O gráfico da função para três períodos é uma onda quadrada que alterna entre 0 e 1, com transições nos pontos , etc., conforme descrito no passo anterior.