Determine, por definição, a derivada direcional de em na direção de ,

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar a definição de derivada direcional, que faz parte do cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada direcional. A derivada direcional de em na direção do vetor é dada por:
Isso basicamente mede a taxa de variação da função em na direção específica de .

Passo 3

Antes de aplicar a definição, precisamos garantir que o vetor seja um vetor unitário, ou seja, tenha comprimento 1. Isso é importante porque a direção é que nos interessa, não a magnitude.
Calculando o comprimento de :
Então, já é um vetor unitário.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a definição. Primeiro, calculamos :

Passo 5

Substituímos na função :
Vamos expandir isso:

Passo 6

Agora, calculamos a diferença . Sabemos que .
Então:

Passo 7

Dividimos essa diferença por :

Passo 8

Finalmente, tomamos o limite quando tende a 0:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

Exercícios relacionados

Suponha uma função diferenciável e que, para todo . Calcule , admitindo que . Determine equações paramétricas da reta normal ao gráfico de no ponto .
Mostre que possui derivadas parciais contínuas. Conclua que é diferenciável em .