Determine, por definição, a derivada direcional de em na direção de ,
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar a definição de derivada direcional, que faz parte do cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada direcional. A derivada direcional de em na direção do vetor é dada por:
Isso basicamente mede a taxa de variação da função em na direção específica de .
Passo 3
Antes de aplicar a definição, precisamos garantir que o vetor seja um vetor unitário, ou seja, tenha comprimento 1. Isso é importante porque a direção é que nos interessa, não a magnitude.
Calculando o comprimento de :
Então, já é um vetor unitário.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a definição. Primeiro, calculamos :
Passo 5
Substituímos na função :
Vamos expandir isso:
Passo 6
Agora, calculamos a diferença . Sabemos que .
Então:
Passo 7
Dividimos essa diferença por :
Passo 8
Finalmente, tomamos o limite quando tende a 0:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção de é .