Mostre que
possui derivadas parciais contínuas. Conclua que
é diferenciável em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
que é definida de duas formas diferentes, dependendo se o ponto
é
ou não. Nosso objetivo é mostrar que as derivadas parciais dessa função são contínuas em todos os pontos e, com isso, concluir que
é diferenciável em
. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e verificar a continuidade delas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em pontos onde
. A função nesse caso é
.
Vamos calcular
e
:
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, precisamos verificar o que acontece nas derivadas parciais no ponto
. Para isso, usamos a definição de derivada parcial:
Vamos calcular
:
E agora
:
Então, ambas as derivadas parciais em
são iguais a zero.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se as derivadas parciais são contínuas em todos os pontos, inclusive em
. Observando as expressões de
e
para
, vemos que elas são combinações de funções polinomiais divididas por
, que é sempre positiva fora de
. Como os numeradores e denominadores são funções contínuas onde estão definidas, as derivadas parciais
e
são contínuas em
.
No ponto
, vimos que os limites das derivadas parciais existem e são iguais a zero, que coincidem com os valores das derivadas parciais nesse ponto. Portanto, as derivadas parciais são contínuas em todo o domínio de
.
Resposta
As derivadas parciais de
são contínuas em todos os pontos, incluindo
. Portanto,
é diferenciável em
.
Exercícios relacionados
Verifique que as funções dadas satisfazem a equação de Laplace em dimensão
.
Determine a derivada direcional da função dada no ponto
e na direção de
Suponha
uma função diferenciável e que, para todo
. Calcule
, admitindo que
. Determine equações paramétricas da reta normal ao gráfico de
no ponto
.
Determine, por definição, a derivada direcional de
em
na direção de
,