Mostre que possui derivadas parciais contínuas. Conclua que é diferenciável em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que é definida de duas formas diferentes, dependendo se o ponto é ou não. Nosso objetivo é mostrar que as derivadas parciais dessa função são contínuas em todos os pontos e, com isso, concluir que é diferenciável em . Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e verificar a continuidade delas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em pontos onde . A função nesse caso é .
Vamos calcular e :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, precisamos verificar o que acontece nas derivadas parciais no ponto . Para isso, usamos a definição de derivada parcial:
Vamos calcular :
E agora :
Então, ambas as derivadas parciais em são iguais a zero.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se as derivadas parciais são contínuas em todos os pontos, inclusive em . Observando as expressões de e para , vemos que elas são combinações de funções polinomiais divididas por , que é sempre positiva fora de . Como os numeradores e denominadores são funções contínuas onde estão definidas, as derivadas parciais e são contínuas em .
No ponto , vimos que os limites das derivadas parciais existem e são iguais a zero, que coincidem com os valores das derivadas parciais nesse ponto. Portanto, as derivadas parciais são contínuas em todo o domínio de .

Resposta

As derivadas parciais de são contínuas em todos os pontos, incluindo . Portanto, é diferenciável em .

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