I=integral x^3+x+1x^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente tá lidando com cálculo integral aqui, especificamente com uma fração polinomial. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e depois integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o polinômio do numerador pelo denominador para simplificar a fração. Isso vai nos ajudar a separar a integral em partes mais fáceis de trabalhar.

Passo 3

Dividindo x^3 + x + 1x^2 + 1 = x + 1x^2 + 1 por , temos:
Isso acontece porque , e sobra no numerador.

Passo 4

Agora, nossa integral fica assim:
I = integral ( x + 1x^2 + 1 ) , dx
Podemos separar essa integral em duas partes:
I = integral x , dx + integral 1x^2 + 1 , dx

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente. A primeira é simples:
integral x , dx = x^22 + C
A segunda integral é uma forma padrão que conhecemos na trigonometria:
integral 1x^2 + 1 , dx = tan^-1(x) + C

Passo 6

Juntando as duas integrais, temos:
I = x^22 + tan^-1(x) + C
Onde é a constante de integração que aparece em integrais indefinidas.

Resposta

A integral é igual a .

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