Suponha uma função diferenciável e que, para todo . Calcule , admitindo que . Determine equações paramétricas da reta normal ao gráfico de no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função que é diferenciável. A função está relacionada por para todo real. Nosso objetivo é calcular a derivada parcial de em relação a no ponto , sabendo que . Depois, vamos encontrar as equações paramétricas da reta normal ao gráfico de nesse ponto. Para resolver, vamos usar a regra da cadeia e um pouco de geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação significa. Ela relaciona com , então vamos diferenciar ambos os lados em relação a usando a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia na equação , temos:
O lado direito é simples de derivar:

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado esquerdo usando a regra da cadeia:

Passo 5

Igualando as duas derivadas:
Agora, substituímos pelo valor que torna . Vemos que , porque e .

Passo 6

Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 7

Isolando :
Dividindo ambos os lados por 3:

Passo 8

Agora que temos e , vamos encontrar as equações paramétricas da reta normal ao gráfico de no ponto .
Primeiro, calculamos . Sabemos que , então:

Passo 9

A reta normal ao gráfico de em um ponto é determinada pelo vetor normal à superfície nesse ponto. Esse vetor normal é dado por:

Passo 10

Com o ponto e o vetor normal , as equações paramétricas da reta normal são:
onde é o parâmetro.

Resposta

A derivada parcial de em relação a no ponto é . As equações paramétricas da reta normal ao gráfico de no ponto são:

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