Suponha uma função diferenciável e que, para todo . Calcule , admitindo que . Determine equações paramétricas da reta normal ao gráfico de no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função que é diferenciável. A função está relacionada por para todo real. Nosso objetivo é calcular a derivada parcial de em relação a no ponto , sabendo que . Depois, vamos encontrar as equações paramétricas da reta normal ao gráfico de nesse ponto. Para resolver, vamos usar a regra da cadeia e um pouco de geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação significa. Ela relaciona com , então vamos diferenciar ambos os lados em relação a usando a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia na equação , temos:
O lado direito é simples de derivar:
Passo 4
Agora, vamos derivar o lado esquerdo usando a regra da cadeia:
Passo 5
Igualando as duas derivadas:
Agora, substituímos pelo valor que torna . Vemos que , porque e .
Passo 6
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 7
Isolando :
Dividindo ambos os lados por 3:
Passo 8
Agora que temos e , vamos encontrar as equações paramétricas da reta normal ao gráfico de no ponto .
Primeiro, calculamos . Sabemos que , então:
Passo 9
A reta normal ao gráfico de em um ponto é determinada pelo vetor normal à superfície nesse ponto. Esse vetor normal é dado por:
Passo 10
Com o ponto e o vetor normal , as equações paramétricas da reta normal são:
onde é o parâmetro.
Resposta
A derivada parcial de em relação a no ponto é . As equações paramétricas da reta normal ao gráfico de no ponto são: