Suponha f: R^2 R uma função diferenciável e que, para todo t in R, f(3 t, t^3)=arctg(t). Calcule partial fpartial x(3,1), admitindo que partial fpartial y(3,1)=2. Determine equações paramétricas da reta normal ao gráfico de f no ponto (3,1, f(3,1)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função que é diferenciável. A função está relacionada por para todo real. Nosso objetivo é calcular a derivada parcial de em relação a no ponto , sabendo que . Depois, vamos encontrar as equações paramétricas da reta normal ao gráfico de nesse ponto. Para resolver, vamos usar a regra da cadeia e um pouco de geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação significa. Ela relaciona com , então vamos diferenciar ambos os lados em relação a usando a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia na equação ddt f(3t, t^3) = ddt arctan(t) , temos:
ddt arctan(t) = 11 + t^2
O lado direito é simples de derivar:

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado esquerdo usando a regra da cadeia:
ddt f(3t, t^3) = partial fpartial x cdot ddt(3t) + partial fpartial y cdot ddt(t^3) = 3 partial fpartial x + 3t^2 partial fpartial y

Passo 5

Igualando as duas derivadas:
3 partial fpartial x + 3t^2 partial fpartial y = 11 + t^2
Agora, substituímos pelo valor que torna . Vemos que , porque e .

Passo 6

Substituindo 3 partial fpartial x(3,1) + 3(1)^2 cdot 2 = 11 + 1^2 na equação:
3 partial fpartial x(3,1) + 6 = 12
Simplificando:

Passo 7

Isolando 3 partial fpartial x(3,1) = 12 - 6 = -112 :
partial fpartial x(3,1) = -116
Dividindo ambos os lados por 3:

Passo 8

Agora que temos f(3,1) = arctan(1) = pi4 e , vamos encontrar as equações paramétricas da reta normal ao gráfico de no ponto .
Primeiro, calculamos . Sabemos que , então:

Passo 9

A reta normal ao gráfico de n = ( partial fpartial x, partial fpartial y, -1 ) = ( -116, 2, -1 ) em um ponto é determinada pelo vetor normal à superfície nesse ponto. Esse vetor normal é dado por:

Passo 10

Com o ponto x = 3 - 116 t y = 1 + 2 t z = pi4 - t e o vetor normal , as equações paramétricas da reta normal são:
onde é o parâmetro.

Resposta

A derivada parcial de x = 3 - 116 t y = 1 + 2 t z = pi4 - t em relação a no ponto é . As equações paramétricas da reta normal ao gráfico de no ponto são:

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