Determine, pela definição, a derivada das funções:
b)
, no ponto
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função
e precisamos encontrar a derivada dela no ponto
(ou seja,
). A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente utilizando a definição de derivada. Vamos precisar entender como aplicar essa definição passo a passo para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada pela definição. A derivada de uma função
no ponto
é o limite da taxa de variação de
quando o intervalo de variação
se aproxima de zero. Em fórmula, isso é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
no ponto
. Primeiro, calculamos
:
Passo 4
Vamos expandir essas potências:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 6
Agora, vamos calcular
. Sabemos que:
Subtraindo:
Simplificando:
Passo 7
Agora, dividimos essa diferença por
:
Passo 8
O próximo passo é calcular o limite quando
se aproxima de zero. Os termos que contêm
vão desaparecer, pois
:
Passo 9
Vamos calcular os valores numéricos:
Resposta
A derivada da função
no ponto
é
.