Determine, pela definição, a derivada das funções:
b) f(x) = x^3 - 5 x^2, no ponto x0 = 5 * 25

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função e precisamos encontrar a derivada dela no ponto (ou seja, ). A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente utilizando a definição de derivada. Vamos precisar entender como aplicar essa definição passo a passo para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada pela definição. A derivada de uma função no ponto é o limite da taxa de variação de quando o intervalo de variação se aproxima de zero. Em fórmula, isso é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função no ponto . Primeiro, calculamos :

Passo 4

Vamos expandir essas potências:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de :

Passo 6

Agora, vamos calcular . Sabemos que:
Subtraindo:
Simplificando:

Passo 7

Agora, dividimos essa diferença por :

Passo 8

O próximo passo é calcular o limite quando se aproxima de zero. Os termos que contêm vão desaparecer, pois :

Passo 9

Vamos calcular os valores numéricos:

Resposta

A derivada da função no ponto é .

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