Escreva os números complexos na forma z = a + b i, com a, b in R. Em seguida, calcule o módulo |z| = raiz(a^2 + b^2) e o complexo conjugado z = a - b i.
(f) 1 + i^101

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para escrever o número complexo na forma , calcular o módulo e o conjugado complexo . O número que temos é . Para isso, vamos precisar entender como funciona a potência do e aplicar as fórmulas mencionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar . Sabemos que é a unidade imaginária, onde , e seus poderes se repetem a cada 4:
Então, para encontrar , dividimos 101 por 4 e observamos o resto:
Isso significa que .

Passo 3

Agora que sabemos que , podemos substituir de volta na expressão original:
Então, o número complexo está na forma , onde e .

Passo 4

Vamos calcular o módulo usando a fórmula :

Passo 5

Agora, vamos encontrar o conjugado complexo utilizando a fórmula :

Resposta

O número complexo na forma é . Seu módulo é e o conjugado complexo é .

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