Determine, pela definição, uma inversa generalizada de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar, pela definição, uma inversa generalizada da matriz
. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre inversas generalizadas ou pseudoinversas de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma inversa generalizada e como aplicá-la a matrizes que não são quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma inversa generalizada. Diferente da inversa comum, que existe apenas para matrizes quadradas e não-singulares, a inversa generalizada pode ser definida para qualquer matriz. Uma das definições mais usadas é a do inverso de Moore-Penrose. Para uma matriz
, uma matriz
é sua inversa generalizada se satisfizer as seguintes condições:
-
-
-
é simétrica -
é simétrica
No nosso caso, como
é uma matriz de tamanho
, a inversa generalizada
será uma matriz de tamanho
.
Passo 3
Vamos supor que
. Agora, vamos aplicar a primeira condição
:
Primeiro, multiplicamos
por
:
Agora, multiplicamos esse resultado por
:
Queremos que
, ou seja:
Isso nos dá a equação:
Passo 4
Resolvendo a equação
:
Perceba que
não aparece nessa equação, o que significa que ele pode ser qualquer valor real. Portanto, a inversa generalizada
pode ser escrita como:
Onde
é qualquer número real.
Resposta
Uma das inversas generalizadas de
é: