Determine, pela definição, uma inversa generalizada de A=[ll3 & 0].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar, pela definição, uma inversa generalizada da matriz 3 & 0 . Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre inversas generalizadas ou pseudoinversas de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma inversa generalizada e como aplicá-la a matrizes que não são quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma inversa generalizada. Diferente da inversa comum, que existe apenas para matrizes quadradas e não-singulares, a inversa generalizada pode ser definida para qualquer matriz. Uma das definições mais usadas é a do inverso de Moore-Penrose. Para uma matriz , uma matriz é sua inversa generalizada se satisfizer as seguintes condições:
  1. é simétrica
  2. é simétrica
No nosso caso, como é uma matriz de tamanho , a inversa generalizada será uma matriz de tamanho .

Passo 3

Vamos supor que g1 g2 . Agora, vamos aplicar a primeira condição AGA = 3 & 0 g1 g2 3 & 0 :
AG = 3 times g1 + 0 times g2 = 3g1
Primeiro, multiplicamos AGA = 3g1 3 & 0 = 9g1 & 0 por 9g1 & 0 = 3 & 0 :
9g1 = 3
Agora, multiplicamos esse resultado por :
Queremos que , ou seja:
Isso nos dá a equação:

Passo 4

Resolvendo a equação g1 = 39 = 13 :
G = 13 g2
Perceba que não aparece nessa equação, o que significa que ele pode ser qualquer valor real. Portanto, a inversa generalizada pode ser escrita como:
Onde é qualquer número real.

Resposta

Uma das inversas generalizadas de 3 & 0 é:
G = 13 0

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Determine as equações paramétricas da reta r, determinada pelos seguintes pontos: A=(1,2) e B=(2,1)
Todas as inversas generalizadas da matriz A podem ser escritas nas duas formas alternativas
a) X=A^-+U-A^- A U A A^-
b) X=A^-+V(I-A A^-)+(I-A^- A) W
onde A^-é uma particular inversa generalizada de A, U, V e W são matrizes arbitrárias. Verifique que X especificada nos itens a e b satisfaz a condição A XA=A.
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Determine a inversa de B=[cccc2 & 2 & 1 & 3 2 & 5 & 2 & 6 1 & 2 & 2 & 3 3 & 6 & 3 & 10] usando o fato que B=I+undersetsimb undersetsimb, onde undersetsimb=[llll1 & 2 & 1 & 3].