Determine, pela definição, uma inversa generalizada de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar, pela definição, uma inversa generalizada da matriz . Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre inversas generalizadas ou pseudoinversas de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma inversa generalizada e como aplicá-la a matrizes que não são quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma inversa generalizada. Diferente da inversa comum, que existe apenas para matrizes quadradas e não-singulares, a inversa generalizada pode ser definida para qualquer matriz. Uma das definições mais usadas é a do inverso de Moore-Penrose. Para uma matriz , uma matriz é sua inversa generalizada se satisfizer as seguintes condições:
é simétrica
é simétrica
No nosso caso, como é uma matriz de tamanho , a inversa generalizada será uma matriz de tamanho .
Passo 3
Vamos supor que . Agora, vamos aplicar a primeira condição :
Primeiro, multiplicamos por :
Agora, multiplicamos esse resultado por :
Queremos que , ou seja:
Isso nos dá a equação:
Passo 4
Resolvendo a equação :
Perceba que não aparece nessa equação, o que significa que ele pode ser qualquer valor real. Portanto, a inversa generalizada pode ser escrita como: