Determine um tal que a definição seja válida para o dado.
(e) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de limites! A gente precisa encontrar um valor de que faça a definição de limite valer para . O problema é sobre o limite de quando se aproxima de , e o limite dado é . A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente a definição formal de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição formal do limite. Dizemos que:
significa que para todo , existe um tal que sempre que , então .
No nosso caso, , , e . Precisamos encontrar um que satisfaça essa condição.
Passo 3
Vamos começar substituindo os valores na desigualdade :
Nosso objetivo é simplificar essa expressão para encontrar uma relação entre e .
Passo 4
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Vamos multiplicar e simplificar o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, queremos que:
Para facilitar, vamos resolver a desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 6
Agora, precisamos encontrar tal que implique .
Para isso, vamos estimar . Sabemos que está próximo de , então não vai se aproximar de 3 muito, podemos supor que está limitado abaixo por um número positivo.
Vamos escolher , por exemplo, assim está no intervalo , ou seja, . Nesse intervalo, .
Passo 7
Com , podemos substituir na desigualdade:
Agora, precisamos que .
Passo 8
Vamos resolver . Isso significa que:
Resolvendo e , podemos encontrar os valores de que satisfazem essa condição.
Passo 9
Na prática, para simplificar, podemos estabelecer . Porém, como estamos próximos de , substituindo na expressão :
Por isso, escolhendo garante que a condição seja satisfeita.