Determine um de tal que a definição seja válida para o epsilon dado.
(e) lim x 12 3 x^2-8 x-3x-3=52, epsilon=0,001.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limites! A gente precisa encontrar um valor de que faça a definição de limite valer para . O problema é sobre o limite de quando se aproxima de , e o limite dado é . A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente a definição formal de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição formal do limite. Dizemos que:
limx to a f(x) = L
significa que para todo , existe um tal que sempre que , então .
No nosso caso, , , e . Precisamos encontrar um que satisfaça essa condição.

Passo 3

Vamos começar substituindo os valores na desigualdade | 3x^2 - 8x - 3x - 3 - 52 | < 0,001 :
Nosso objetivo é simplificar essa expressão para encontrar uma relação entre e .

Passo 4

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
3x^2 - 8x - 3x - 3 - 52 = 2(3x^2 - 8x - 3) - 5(x - 3)2(x - 3)
Vamos multiplicar e simplificar o numerador:
2(3x^2 - 8x - 3) - 5(x - 3) = 6x^2 - 16x - 6 - 5x + 15 = 6x^2 - 21x + 9
Então, a expressão fica:
6x^2 - 21x + 92(x - 3)

Passo 5

Agora, queremos que:
| 6x^2 - 21x + 92(x - 3) | < 0,001
Para facilitar, vamos resolver a desigualdade:
|6x^2 - 21x + 9|2|x - 3| < 0,001
Multiplicando ambos os lados por |6x^2 - 21x + 9| < 0,002|x - 3| :

Passo 6

Agora, precisamos encontrar tal que implique .
Para isso, vamos estimar . Sabemos que está próximo de , então não vai se aproximar de 3 muito, podemos supor que está limitado abaixo por um número positivo.
Vamos escolher , por exemplo, assim está no intervalo , ou seja, . Nesse intervalo, .

Passo 7

Com |6x^2 - 21x + 9| < 0,002 times 32 = 0,003 , podemos substituir na desigualdade:
Agora, precisamos que .

Passo 8

Vamos resolver -0,003 < 6x^2 - 21x + 9 < 0,003 . Isso significa que:
Resolvendo e , podemos encontrar os valores de que satisfazem essa condição.

Passo 9

Na prática, para simplificar, podemos estabelecer 6(12)^2 - 21(12) + 9 = 64 - 212 + 9 = 1,5 - 10,5 + 9 = 0 . Porém, como estamos próximos de , substituindo na expressão :
Por isso, escolhendo garante que a condição seja satisfeita.

Resposta

Um valor adequado de é .

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