Determine um de tal que a definição seja válida para o epsilon dado.
© lim x 0 x^2+3 x-4=-4, epsilon=0,03.

Passo 1

Então, a gente precisa provar que o limite de quando se aproxima de 0 é igual a -4. O que isso significa na prática? Queremos encontrar um valor tal que, se estiver a menos de de 0, então estará a menos de de -4. Vamos usar a definição de limite - para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição que queremos satisfazer:
|x^2 + 3x - 4 - (-4)| < 0,03
Simplificando dentro do valor absoluto:
|x^2 + 3x| < 0,03
Então, nosso objetivo é fazer com que seja menor que 0,03.

Passo 3

Vamos tentar simplificar essa expressão. Sabemos que:
|x^2 + 3x| <= |x^2| + |3x| = x^2 + 3|x|
Então, precisamos que:
x^2 + 3|x| < 0,03
Para facilitar, vamos supor que . Assim, , porque qualquer número ao quadrado menor que 1 é menor que ele mesmo.

Passo 4

Com x^2 + 3x < x + 3x = 4x , nossa desigualdade fica:
x^2 + 3|x| < 0,03
Mas isso ainda não nos ajuda muito. Melhor vamos manter a expressão original:
Queremos encontrar um que satisfaça essa condição.

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade para x^2 + 3|x| < 0,03 :
Isso pode ser um pouco complicado de resolver diretamente, então vamos tentar encontrar um valor pequeno para que funcione.

Passo 6

Vamos supor que x^2 <= (0,01)^2 = 0,0001 . Assim:
3|x| <= 3 times 0,01 = 0,03
x^2 + 3|x| <= 0,0001 + 0,03 = 0,0301
Somando:
Isso está muito próximo de 0,03, então vamos escolher um valor um pouco menor para garantir que a condição seja satisfeita.

Passo 7

Escolhendo x^2 <= (0,005)^2 = 0,000025 :
3|x| <= 3 times 0,005 = 0,015
x^2 + 3|x| <= 0,000025 + 0,015 = 0,015025
Somando:
Isso é claramente menor que 0,03, então nosso funciona.

Resposta

Um valor válido é .

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