Determine um
tal que a definição seja válida para o
dado.
©
.
©
Passo 1
Então, a gente precisa provar que o limite de
quando
se aproxima de 0 é igual a -4. O que isso significa na prática? Queremos encontrar um valor
tal que, se
estiver a menos de
de 0, então
estará a menos de
de -4. Vamos usar a definição de limite
-
para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a condição que queremos satisfazer:
Simplificando dentro do valor absoluto:
Então, nosso objetivo é fazer com que
seja menor que 0,03.
Passo 3
Vamos tentar simplificar essa expressão. Sabemos que:
Então, precisamos que:
Para facilitar, vamos supor que
. Assim,
, porque qualquer número ao quadrado menor que 1 é menor que ele mesmo.
Passo 4
Com
, nossa desigualdade fica:
Mas isso ainda não nos ajuda muito. Melhor vamos manter a expressão original:
Queremos encontrar um
que satisfaça essa condição.
Passo 5
Vamos resolver a desigualdade para
:
Isso pode ser um pouco complicado de resolver diretamente, então vamos tentar encontrar um valor pequeno para
que funcione.
Passo 6
Vamos supor que
. Assim:
Somando:
Isso está muito próximo de 0,03, então vamos escolher um valor um pouco menor para garantir que a condição seja satisfeita.
Passo 7
Escolhendo
:
Somando:
Isso é claramente menor que 0,03, então nosso
funciona.
Resposta
Um valor válido é
.