Determine um de tal que a definição seja válida para o epsilon dado.
(d) lim x -2 2 x^2+5 x+3=1, epsilon=0,004.

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos encontrar um valor de tal que a definição de limite seja válida para o dado. Especificamente, estamos analisando o limite de quando se aproxima de , e .
Conteúdo da matéria: Definição de limite utilizando a definição - .
O que vamos precisar: Manipular a desigualdade para encontrar em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição que queremos satisfazer com |2x^2 + 5x + 3 - 1| < 0,004 :
|2x^2 + 5x + 2| < 0,004
Simplificando a expressão dentro do valor absoluto:

Passo 3

Sabemos que x = -2 + h onde |h| < de está se aproximando de 2(-2 + h)^2 + 5(-2 + h) + 2 , então podemos expressar 2(4 - 4h + h^2) + 5(-2 + h) + 2 = 8 - 8h + 2h^2 - 10 + 5h + 2 = 2h^2 - 3h como:
|2h^2 - 3h| < 0,004
Substituindo na expressão:
Calculando cada termo:
Portanto, a condição fica:

Passo 4

Aplicamos a desigualdade triangular para simplificar:
|2h^2 - 3h| <= 2|h|^2 + 3|h| < 0,004
Queremos encontrar 2de tal que:

Passo 5

Resolvemos a inequação quadrática:
2de
Usando a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
de
Desconsideramos a solução negativa, pois de:
Para garantir que a desigualdade seja satisfeita, escolhemos .

Resposta

Um satisfaz a definição para .

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