Seja F(x)=x^2-1|x-1|.
a) Encontre lim x 1^+ F(x) e lim x 1^- F(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os limites laterais da função quando se aproxima de 1 pela direita ( ) e pela esquerda ( ). Isso está dentro do estudo de limites em cálculo, especialmente lidando com valores absolutos. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função nos dois lados de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando F(x) = x^2 - 1|x - 1| = x^2 - 1x - 1 se aproxima de 1 pela direita ( F(x) = (x - 1)(x + 1)x - 1 ). Nesse caso, F(x) = x + 1 é um pouco maior que 1, então limx 1^+ F(x) = limx 1^+ (x + 1) = 1 + 1 = 2 é positivo. Isso significa que o valor absoluto de é simplesmente . Então, substituindo na função:
Agora, vamos simplificar . Sabemos que pode ser fatorado como . Assim:
Os se cancelam, ficando:
Agora, calculamos o limite:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando F(x) = x^2 - 1|x - 1| = x^2 - 11 - x se aproxima de 1 pela esquerda ( F(x) = (x - 1)(x + 1)1 - x = (x - 1)(x + 1)-(x - 1) = - (x + 1) ). Nesse caso, F(x) = - (x + 1) é um pouco menor que 1, então limx 1^- F(x) = limx 1^- - (x + 1) = - (1 + 1) = -2 é negativo. O valor absoluto de será . Substituindo na função:
Novamente, fatoramos como :
Os se cancelam, mas sobra o sinal negativo:
Calculamos o limite:

Resposta

limx 1^+ F(x) = 2 e limx 1^- F(x) = -2

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