Determine um de tal que a definição seja válida para o epsilon dado.
(b) lim x 1 5 x-3=2, epsilon=0,05.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limites usando a definição de limite com ε e δ. A gente precisa achar um valor para δ que, dado um ε igual a 0,05, garante que quando x estiver a δ de 1, o valor de estará a menos de 0,05 de 2. Basicamente, vamos usar os conceitos de limites para formalizar essa ideia.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o que a definição de limite está pedindo. Queremos que:
| (5x - 3) - 2 | < 0,05 sempre que | x - 1 | < de
Isso significa que a diferença entre e 2 deve ser menor que 0,05 sempre que x estiver suficientemente perto de 1, dentro de um intervalo δ.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do módulo para facilitar:
| (5x - 3) - 2 | = | 5x - 5 | = 5 | x - 1 |
Então, nossa condição fica:
5 | x - 1 | < 0,05

Passo 4

Agora, vamos resolver para 5 | x - 1 | < 0,05 Rightarrow | x - 1 | < 0,055 = 0,01 :
Isso significa que se conseguirmos fazer , então a condição original será satisfeita.

Passo 5

Portanto, podemos escolher . Assim, sempre que , teremos , cumprindo a definição de limite para o ε dado.

Resposta

Um satisfaz a definição para o .

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