Determine a densidade de energia em uma onda sonora a 4,82 km de distância de uma sirene de emergência de 5,20 kW, admitindo que as ondas são esféricas e que a propagação é isotrópica, sem absorção pela atmosfera.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a densidade de energia de uma onda sonora a uma certa distância de uma sirene de emergência. O enunciado nos diz que a potência da sirene é de 5,20 kW e a distância é de 4,82 km. O conteúdo que vamos usar aqui envolve ondas sonoras, propagação esférica e densidade de energia. Para resolver, vamos precisar entender como a energia se distribui em uma onda que se espalha de forma esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. A potência da sirene é de 5,20 kW, o que é igual a 5200 W. A distância de 4,82 km é igual a 4820 metros.

Passo 3

Agora, como a onda se propaga de forma esférica e isotrópica, a energia da onda se distribui igualmente em todas as direções. A área de uma esfera é dada por I = P4pi r^2 , onde é o raio da esfera. Então, a intensidade da onda sonora (energia por unidade de área) a uma distância é:
Aqui, é a potência da fonte sonora.

Passo 4

A intensidade I = u times c nos dá a potência por unidade de área. Para encontrar a densidade de energia u = Ic = P4pi r^2 c da onda sonora, usamos a relação entre intensidade e densidade de energia para ondas que se propagam com velocidade :
Portanto, podemos rearranjar para encontrar :
Aqui, é a velocidade do som no ar, que a uma temperatura de cerca de 20°C é aproximadamente 343 m/s.

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula. Temos:
P = 5200 , W
r = 4820 , m
c = 343 , m/s
Substituindo na fórmula da densidade de energia:
u = 52004pi (4820)^2 times 343

Passo 6

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcule 4pi (4820)^2 = 4 times 3,1416 times (4820)^2 approx 4 times 3,1416 times 23.232.400 approx 4 times 3,1416 times 23.232.400 approx 292.419.200 , m^2 :
292.419.200 times 343 approx 100.220.625.600 , m^2/s
Então, multiplique por :

Passo 7

Agora, divida a potência u = 5200100.220.625.600 approx 5,187 times 10^-5 , J/m^3 por esse resultado:

Resposta

A densidade de energia da onda sonora a 4,82 km de distância da sirene é aproximadamente .

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