Questão: Um elétron é projetado com velocidade inicial
para dentro do campo elétrico uniforme entre as placas paralelas. Suponha que o campo seja uniforme e orientado verticalmente para baixo e considere o campo elétrico fora das placas igual a zero. O elétron entra no campo em um ponto intermediário entre as placas. (a) Sabendo que o elétron tangencia a placa superior quando ele sai do campo, calcule o módulo do campo elétrico. (b) Qual é o módulo da velocidade do elétron quando ele emerge do campo? © Suponha que, na figura, o elétron seja substituído por um próton com a mesma velocidade inicial
. O próton colide com uma das placas? Se o próton não colide com nenhuma placa, qual deve ser o módulo, a direção e o sentido de seu deslocamento vertical quando ele sai da região entre as placas? (d) Compare as trajetórias seguidas pelo elétron e pelo próton e explique as diferenças. (e) Analise se é razoável desprezar os efeitos da gravidade para cada partícula. Considere que as cargas do são
para o elétron e
para o próton e as massas são
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um elétron que é lançado com uma velocidade inicial de
dentro de um campo elétrico uniforme entre placas paralelas. O campo está direcionado para baixo, e fora das placas ele é zero. O elétron entra no meio das placas e toca a placa superior ao sair do campo. Vamos precisar usar conceitos de força elétrica, movimento uniformemente acelerado e leis de conservação. Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Calcular o módulo do campo elétrico
.
Primeiro, sabemos que o elétron tangencia a placa superior quando sai do campo. Isso significa que todo o desvio causado pela força elétrica faz com que ele atinja a placa. Vamos usar a segunda lei de Newton para relacionar a força elétrica com a aceleração.
A força elétrica
sobre o elétron é dada por:
Onde
(carga do elétron).
A segunda lei de Newton nos diz:
Igualando as duas expressões:
Agora, precisamos relacionar essa aceleração com o deslocamento vertical até alcançar a placa superior.
Como o elétron parte do ponto intermediário, ele percorre uma distância
até a placa superior. Usamos a equação do movimento uniformemente acelerado:
Mas não temos
nem
diretamente. Porém, sabemos que horizontalmente, o elétron tem uma velocidade constante
, e percorre uma distância igual ao espaço entre as placas
. Assim:
Substituindo na equação de
:
Como o elétron tangencia a placa,
, onde
é a distância total entre as placas. Solucionando para
:
Mas como não temos valores numéricos para
e
, fica claro que para resolver exatamente precisaríamos dessas informações. Contudo, o procedimento geral está descrito!
Passo 3
Parte (b): Calcular o módulo da velocidade do elétron quando ele emerge do campo.
Aqui, a velocidade inicial é apenas na direção horizontal,
. A velocidade vertical
será influenciada pela aceleração elétrica.
Usando a equação do movimento para
:
A velocidade total
é dada pela combinação vetorial:
Substituindo
:
Lembrando que
foi calculado na parte (a), essa seria a fórmula para
. Sem valores numéricos, essa é a expressão geral!
Passo 4
Parte ©: Substituir o elétron por um próton com a mesma velocidade inicial e verificar se collide com alguma placa. Se não colidir, determinar o deslocamento vertical.
Um próton tem carga
e massa
.
A aceleração elétrica para o próton será:
Como a massa do próton é muito maior que a do elétron (
), a aceleração
será menor.
Usando a mesma lógica da parte (a), o deslocamento vertical
será:
Como
será menor que
, o próton não colide com nenhuma placa. O deslocamento vertical será para cima (devido à carga positiva) e de magnitude
.
Passo 5
Parte (d): Comparar as trajetórias do elétron e do próton e explicar as diferenças.
O elétron, sendo mais leve e com carga negativa, sofre uma aceleração maior na direção oposta ao campo elétrico, resultando em um desvio maior e atingindo a placa superior.
Já o próton, sendo mais pesado e com carga positiva, tem uma aceleração menor na mesma direção do campo elétrico, resultando em um desvio menor, possivelmente sem atingir nenhuma placa.
Portanto, a trajetória do elétron é mais curvada e com maior desvio vertical, enquanto a do próton é mais reta e com menor desvio.
Passo 6
Parte (e): Analisar se é razoável desprezar os efeitos da gravidade para cada partícula.
A força gravitacional sobre uma partícula é dada por:
Para o elétron:
Para o próton:
Comparando com a força elétrica
, que geralmente é muito maior que
nesse contexto, podemos concluir que é razoável desprezar a gravidade para ambas as partículas, pois a força elétrica domina o comportamento delas no campo.
Resposta
Resolvemos todas as partes do exercício! Para calcular o campo elétrico
, a velocidade final do elétron, analisar o comportamento de um próton, comparar trajetórias e verificar a influência da gravidade, aplicamos as leis de força elétrica e movimento. Concluímos que a força elétrica é significativamente maior que a gravitacional, permitindo desprezar a gravidade para ambas as partículas.
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para o elétron e
para o próton e as massas são
e
.
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