Determine a densidade planar do lítio CCC, cujo raio é
nos planos (100), (110) e (111). Qual desses planos (caso exista) é mais compacto?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a densidade planar do lítio no cristal CCC (Cúbico de Face Centrada) para os planos (100), (110) e (111). A densidade planar é basicamente quantos átomos estão presentes em uma determinada área do plano. Para isso, vamos precisar usar fórmulas de geometria cristalina e entender como os átomos estão arranjados nesses planos.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar o parâmetro de rede
, que é a distância entre os centros dos átomos no cristal. Sabemos que o raio do lítio
é
nm. No cristal cúbico de face centrada (CCC), a relação entre o parâmetro de rede e o raio é:
Vamos calcular isso:
Passo 3
Agora, vamos calcular a densidade planar para o plano (100). Esse plano é basicamente uma face do cubo. No plano (100) de um CCC, há um átomo no centro e um em cada um dos quatro cantos. Cada átomo dos cantos é compartilhado por quatro cubos, então efetivamente temos:
A área do plano (100) é
:
Então, a densidade planar
é:
Passo 4
Vamos para o plano (110). Esse plano corta o cubo de maneira que atravessa duas arestas. No plano (110) de um CCC, há dois átomos inteiros e dois átomos pela metade (nos cantos). Então:
A área do plano (110) é
:
Então, a densidade planar
é:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a densidade planar para o plano (111). Esse plano é inclinado e passa por três arestas do cubo. No plano (111) de um CCC, há três átomos inteiros e um átomo no centro compartilhado por três planos:
A área do plano (111) é
:
Então, a densidade planar
é:
Resposta
A densidade planar do lítio CCC é aproximadamente:
Portanto, o plano (111) é o mais compacto entre os considerados.