Determine a densidade planar do lítio CCC, cujo raio é 0,152 nm nos planos (100), (110) e (111). Qual desses planos (caso exista) é mais compacto?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a densidade planar do lítio no cristal CCC (Cúbico de Face Centrada) para os planos (100), (110) e (111). A densidade planar é basicamente quantos átomos estão presentes em uma determinada área do plano. Para isso, vamos precisar usar fórmulas de geometria cristalina e entender como os átomos estão arranjados nesses planos.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar o parâmetro de rede a = 2raiz2 cdot r , que é a distância entre os centros dos átomos no cristal. Sabemos que o raio do lítio a = 2raiz2 cdot 0,152 , nm approx 0,430 , nm é nm. No cristal cúbico de face centrada (CCC), a relação entre o parâmetro de rede e o raio é:
Vamos calcular isso:

Passo 3

Agora, vamos calcular a densidade planar para o plano (100). Esse plano é basicamente uma face do cubo. No plano (100) de um CCC, há um átomo no centro e um em cada um dos quatro cantos. Cada átomo dos cantos é compartilhado por quatro cubos, então efetivamente temos:
Número de átomos = 1 , (centro) + 4 times 14 , (cantos) = 2 úá
A área do plano (100) é Área = (0,430 , nm)^2 approx 0,185 , nm^2 :
rho100 = 20,185 approx 10,81 , átomos/nm^2 Á
Então, a densidade planar é:
á

Passo 4

Vamos para o plano (110). Esse plano corta o cubo de maneira que atravessa duas arestas. No plano (110) de um CCC, há dois átomos inteiros e dois átomos pela metade (nos cantos). Então:
Número de átomos = 2 + 2 times 12 = 3 úá
A área do plano (110) é Área = a times araiz2 = (0,430 , nm) times (0,430 , nm times 1,414) approx 0,259 , nm^2 :
rho110 = 30,259 approx 11,58 , átomos/nm^2 Á
Então, a densidade planar é:
á

Passo 5

Por fim, vamos calcular a densidade planar para o plano (111). Esse plano é inclinado e passa por três arestas do cubo. No plano (111) de um CCC, há três átomos inteiros e um átomo no centro compartilhado por três planos:
Número de átomos = 3 + 13 = approx 3,33 úá
A área do plano (111) é Área = raiz32 times (0,430 , nm)^2 approx 0,159 , nm^2 :
rho111 = 3,330,159 approx 20,94 , átomos/nm^2 Á
Então, a densidade planar é:
á

Resposta

A densidade planar do lítio CCC é aproximadamente:
  • á
  • á
  • á
Portanto, o plano (111) é o mais compacto entre os considerados.

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