Determine a densidade linear do níquel CFC, cujo parâmetro de rede é
, para as direções [100], [110] e [111]. Qual dessas direções é mais compacta?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a densidade linear do níquel na estrutura CFC (Cúbica de Face Centrada) para as direções [100], [110] e [111]. Para isso, vamos precisar entender o que é densidade linear, conhecer a estrutura CFC e usar a fórmula apropriada para cada direção.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre densidade linear. Ela mede quantos átomos estão alinhados em uma determinada direção por unidade de comprimento. É útil para entender quão “compacta” é uma direção cristalina.
Passo 3
Agora, lembrando que a estrutura CFC tem átomos nos vértices e no centro de cada face do cubo. O parâmetro de rede
é o comprimento da aresta do cubo, que neste caso é
.
Passo 4
Vamos começar pela direção [100]. Essa direção vai de um vértice diretamente pelo centro da aresta até o vértice oposto. Na direção [100], temos um único átomo por aresta, já que cada aresta do cubo tem dois vértices compartilhados.
A fórmula para densidade linear
é:
Para [100]:
- Número de átomos = 1 (já que cada átomo está compartilhado entre dois cubos, conta como 1)
- Comprimento =
Então:
Passo 5
Agora vamos para a direção [110]. Essa direção corta a face do cubo diagonalmente. Na estrutura CFC, essa direção passa por dois átomos: um no vértice inicial e outro no centro da face.
Então:
- Número de átomos = 2
- Comprimento =
Então:
Passo 6
Por último, a direção [111]. Essa direção atravessa o cubo de um vértice até o vértice oposto, passando pelo centro do cubo. Na estrutura CFC, essa direção passa por três átomos: um no vértice inicial, um no centro da aresta e um no vértice final.
Então:
- Número de átomos = 3
- Comprimento =
Então:
Resposta
A densidade linear do níquel CFC é aproximadamente:
- [100]: 2,843 átomos/nm
- [110]: 4,028 átomos/nm
- [111]: 4,924 átomos/nm
A direção [111] é a mais compacta.