Determine a densidade linear do níquel CFC, cujo parâmetro de rede é 0,35167 nm, para as direções [100], [110] e [111]. Qual dessas direções é mais compacta?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a densidade linear do níquel na estrutura CFC (Cúbica de Face Centrada) para as direções [100], [110] e [111]. Para isso, vamos precisar entender o que é densidade linear, conhecer a estrutura CFC e usar a fórmula apropriada para cada direção.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre densidade linear. Ela mede quantos átomos estão alinhados em uma determinada direção por unidade de comprimento. É útil para entender quão “compacta” é uma direção cristalina.

Passo 3

Agora, lembrando que a estrutura CFC tem átomos nos vértices e no centro de cada face do cubo. O parâmetro de rede é o comprimento da aresta do cubo, que neste caso é .

Passo 4

Vamos começar pela direção [100]. Essa direção vai de um vértice diretamente pelo centro da aresta até o vértice oposto. Na direção [100], temos um único átomo por aresta, já que cada aresta do cubo tem dois vértices compartilhados.
A fórmula para densidade linear LD = número de átomos na direçãocomprimento da direção é:
LD[100] = 10,35167 approx 2,843, átomos/nm úáçãçã
Para [100]:
  • Número de átomos = 1 (já que cada átomo está compartilhado entre dois cubos, conta como 1)
  • Comprimento =
Então:
á

Passo 5

Agora vamos para a direção [110]. Essa direção corta a face do cubo diagonalmente. Na estrutura CFC, essa direção passa por dois átomos: um no vértice inicial e outro no centro da face.
Então:
  • Número de átomos = 2
  • Comprimento = LD[110] = 20,4971 approx 4,028, átomos/nm
Então:
á

Passo 6

Por último, a direção [111]. Essa direção atravessa o cubo de um vértice até o vértice oposto, passando pelo centro do cubo. Na estrutura CFC, essa direção passa por três átomos: um no vértice inicial, um no centro da aresta e um no vértice final.
Então:
  • Número de átomos = 3
  • Comprimento = LD[111] = 30,609 approx 4,924, átomos/nm
Então:
á

Resposta

A densidade linear do níquel CFC é aproximadamente:
  • [100]: 2,843 átomos/nm
  • [110]: 4,028 átomos/nm
  • [111]: 4,924 átomos/nm
A direção [111] é a mais compacta.

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