Determine a deriva das seguintes funções vetoriais:
F(t) = sen(t) cos(t) i + e^(-2 t) j.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a derivada da função vetorial . Isso está dentro do assunto de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e exponenciais, além de aplicar a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma função vetorial como tem componentes nas direções i e j (ou seja, em x e y). Para encontrar a derivada de , vamos derivar cada componente separadamente em relação a .

Passo 3

Vamos começar derivando a primeira componente: .
Aqui, temos um produto de duas funções: e . Para derivar isso, usamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de é .
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
Aplicando a regra:

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda componente: .
A derivada de uma função exponencial em relação a é . Aqui, .
Então:

Passo 5

Juntando as derivadas das duas componentes, a derivada da função vetorial é:

Resposta

A derivada da função vetorial é:

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