Determine a deriva das seguintes funções vetoriais:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a derivada da função vetorial
. Isso está dentro do assunto de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e exponenciais, além de aplicar a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma função vetorial como
tem componentes nas direções i e j (ou seja, em x e y). Para encontrar a derivada de
, vamos derivar cada componente separadamente em relação a
.
Passo 3
Vamos começar derivando a primeira componente:
.
Aqui, temos um produto de duas funções:
e
. Para derivar isso, usamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de
é
.
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Aplicando a regra:
Passo 4
Agora, vamos derivar a segunda componente:
.
A derivada de uma função exponencial
em relação a
é
. Aqui,
.
Então:
Passo 5
Juntando as derivadas das duas componentes, a derivada da função vetorial
é:
Resposta
A derivada da função vetorial é:
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Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto
. Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.
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. Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.
Seja
. Encontre as direções
(com
unitário) e os valores
para os quais:
Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto
. Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.