Seja . Encontre as direções (com unitário) e os valores para os quais:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, . Queremos encontrar as direções (que são vetores unitários) e os valores do derivada direcional que sejam iguais a .
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que está relacionado com o gradiente da função. O gradiente nos dá a direção de maior aumento da função, e a derivada direcional nos informa a taxa de variação da função em qualquer direção específica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:
Portanto, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico :
Substituindo e nas derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 4

A derivada direcional de na direção de um vetor unitário é dada por:
Queremos que essa derivada direcional seja igual a :

Passo 5

Como é um vetor unitário, ele deve satisfazer a condição:
Agora temos um sistema de duas equações:

Passo 6

Vamos resolver a primeira equação para :

Passo 7

Substituindo na segunda equação:
Multiplicando todos os termos por 9 para eliminar o denominador:

Passo 8

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:

Passo 9

Agora, vamos encontrar para cada valor de :
Para :
Então, a primeira direção é
Para :
Então, a segunda direção é

Resposta

As direções unitárias são:
E para ambas essas direções, a derivada direcional .

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Determine a deriva das seguintes funções vetoriais:
.
Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto . Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.
Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto . Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.
Seja . Mostre que a curva definida por é uma reta.