Seja
. Encontre as direções
(com
unitário) e os valores
para os quais:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
. Queremos encontrar as direções
(que são vetores unitários) e os valores do derivada direcional
que sejam iguais a
.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que está relacionado com o gradiente da função. O gradiente nos dá a direção de maior aumento da função, e a derivada direcional nos informa a taxa de variação da função em qualquer direção específica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Portanto, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico
:
Substituindo
e
nas derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
A derivada direcional de
na direção de um vetor unitário
é dada por:
Queremos que essa derivada direcional seja igual a
:
Passo 5
Como
é um vetor unitário, ele deve satisfazer a condição:
Agora temos um sistema de duas equações:
Passo 6
Vamos resolver a primeira equação para
:
Passo 7
Substituindo
na segunda equação:
Multiplicando todos os termos por 9 para eliminar o denominador:
Passo 8
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Passo 9
Agora, vamos encontrar
para cada valor de
:
Para
:
Então, a primeira direção é
Para
:
Então, a segunda direção é
Resposta
As direções unitárias
são:
E para ambas essas direções, a derivada direcional
.
Exercícios relacionados
Determine a deriva das seguintes funções vetoriais:
.
Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto
. Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.
Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto
. Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.
Seja
. Mostre que a curva definida por
é uma reta.