Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto
. Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar as direções (vetores unitários) nas quais a função
aumenta e diminui mais rapidamente no ponto
. Além disso, precisamos calcular as derivadas direcionais nessas direções. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de aumento mais rápido da função e é dado pelas derivadas parciais de
em relação a
e
.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
:
Passo 4
A direção na qual a função aumenta mais rapidamente é exatamente a direção do gradiente. Para encontrar o vetor unitário nessa direção, precisamos normalizar o gradiente, ou seja, dividir o gradiente pelo seu módulo.
Primeiro, calculamos o módulo do gradiente:
Passo 5
Então, o vetor unitário na direção de aumento mais rápido é:
Já a direção de diminuição mais rápida é o vetor oposto ao gradiente, então o vetor unitário nessa direção é:
Passo 6
Agora, vamos calcular as derivadas direcionais nessas direções. A derivada direcional de
na direção de um vetor unitário
é dada por:
Para a direção de aumento mais rápido:
E para a direção de diminuição mais rápida:
Resposta
As direções nas quais a função
aumenta mais rapidamente no ponto
são dadas pelo vetor unitário:
E para diminuir mais rapidamente:
As derivadas direcionais nessas direções são:
Exercícios relacionados
Seja
. Encontre as direções
(com
unitário) e os valores
para os quais:
Determine a deriva das seguintes funções vetoriais:
.
Seja
. Mostre que a curva definida por
é uma reta.
Sejam
e
. Calcule