Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto P. Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.
f(x, y) = x^2 + x*y + y^2
P = (1, ln(2), 1/2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar as direções (vetores unitários) nas quais a função aumenta e diminui mais rapidamente no ponto . Além disso, precisamos calcular as derivadas direcionais nessas direções. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de aumento mais rápido da função e é dado pelas derivadas parciais de em relação a e .
Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto :

Passo 4

A direção na qual a função aumenta mais rapidamente é exatamente a direção do gradiente. Para encontrar o vetor unitário nessa direção, precisamos normalizar o gradiente, ou seja, dividir o gradiente pelo seu módulo.
Primeiro, calculamos o módulo do gradiente:

Passo 5

Então, o vetor unitário na direção de aumento mais rápido é:
Já a direção de diminuição mais rápida é o vetor oposto ao gradiente, então o vetor unitário nessa direção é:
çã

Passo 6

Agora, vamos calcular as derivadas direcionais nessas direções. A derivada direcional de na direção de um vetor unitário é dada por:
Para a direção de aumento mais rápido:
E para a direção de diminuição mais rápida:
çãçã

Resposta

As direções nas quais a função aumenta mais rapidamente no ponto são dadas pelo vetor unitário:
E para diminuir mais rapidamente:
çã
As derivadas direcionais nessas direções são:
çã

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