Nos exercícios 12 a 14 verifique se a função dada é contínua nos pontos indicados. Justifique sua resposta.
14. em qualquer

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se a função é contínua para qualquer número real . A matéria aqui é continuidade de funções, e pra resolver isso, a gente precisa entender o que faz uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua se não tem “saltos” ou “buracos” no seu gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador, que é . A raiz quadrada está definida sempre que o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Aqui, é sempre positivo porque é pelo menos zero e somando 1 fica pelo menos 1. Além disso, a raiz quadrada de uma função contínua (como ) também é contínua. Então, o numerador é uma função contínua para qualquer .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador, que é . Isso é um polinômio, e sabemos que polinômios são funções contínuas em todo lugar. Além disso, vamos verificar se o denominador nunca é zero, porque se for zero, a função não estaria definida nesse ponto.
Vamos ver:
Isso significa que o denominador nunca é menor que 2, portanto, nunca é zero. Assim, o denominador também é uma função contínua para qualquer .

Passo 4

Como tanto o numerador quanto o denominador são funções contínuas para qualquer , e o denominador nunca é zero, a função também é contínua para qualquer real.

Resposta

A função é contínua para todo .

Exercícios relacionados

Sabe-se que e é definida em . Todas as afirmativas abaixo são falsas. Tente desenhar um contra-exemplo para cada uma delas.
(b)
Elimine o módulo
,
Determine a derivad a da função
Calcule os seguintes limites:
j)