Nos exercícios 12 a 14 verifique se a função dada é contínua nos pontos indicados. Justifique sua resposta.
14.
em qualquer
14.
Passo 1
Então, a gente tem que verificar se a função
é contínua para qualquer número real
. A matéria aqui é continuidade de funções, e pra resolver isso, a gente precisa entender o que faz uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua se não tem “saltos” ou “buracos” no seu gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador, que é
. A raiz quadrada está definida sempre que o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Aqui,
é sempre positivo porque
é pelo menos zero e somando 1 fica pelo menos 1. Além disso, a raiz quadrada de uma função contínua (como
) também é contínua. Então, o numerador é uma função contínua para qualquer
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador, que é
. Isso é um polinômio, e sabemos que polinômios são funções contínuas em todo lugar. Além disso, vamos verificar se o denominador nunca é zero, porque se for zero, a função não estaria definida nesse ponto.
Vamos ver:
Isso significa que o denominador nunca é menor que 2, portanto, nunca é zero. Assim, o denominador também é uma função contínua para qualquer
.
Passo 4
Como tanto o numerador
quanto o denominador
são funções contínuas para qualquer
, e o denominador nunca é zero, a função
também é contínua para qualquer
real.
Resposta
A função
é contínua para todo
.
Exercícios relacionados
Sabe-se que
e
é definida em
. Todas as afirmativas abaixo são falsas. Tente desenhar um contra-exemplo para cada uma delas.
(b)
(b)
Elimine o módulo
,
Determine a derivad a da função
Calcule os seguintes limites:
j)
j)